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Algoritmo

Algoritmo
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Concepto:Conjunto reescrito de instrucciones o reglas bien definidas, ordenadas y finitas que permite realizar una actividad mediante pasos sucesivos que no generen dudas a quien lo ejecute

Algoritmo. En Matemática, ciencias de la Computación y disciplinas relacionadas, un algoritmo (del latín, dixit algorithmus y éste a su vez del matemático persa Al Juarismi) es un conjunto reescrito de instrucciones o reglas bien definidas, ordenadas y finitas que permite realizar una actividad mediante pasos sucesivos que no generen dudas a quien lo ejecute. Dados un estado inicial y una entrada, siguiendo los pasos sucesivos se llega a un estado final y se obtiene una solución. Los algoritmos son objeto de estudio de la algoritmia.

Historia

La palabra algoritmo proviene del nombre de un matemático árabe del siglo IX (Alheresni Khowarismi), originario de la antigua ciudad de Khowarism, hoy Kiva, situada en la antigua URSS. Formuló las reglas de las cuatro operaciones aritméticas con varios dígitos. Posteriormente este concepto comenzó a utilizarse en general para designar las secuencias de operaciones que conducen a la solución de cualquier tarea matemática.

Con el decursar del tiempo el proceso de búsqueda y formalización de algoritmos dejó de ser tarea sólo de matemáticos y se obtuvieron diferentes tipos de algoritmos. Así surgieron algoritmos para juegos como damas y ajedrez, donde los objetos son figuras y posiciones en los que se requiere seleccionar el próximo paso. En otros casos son acciones de una corriente eléctrica o de una determinada máquina o por ejemplo el algoritmo de búsqueda de una palabra en un diccionario donde se utilizan textos. Pero en todos los casos debe considerarse que los algoritmos no trabajan con objetos del mundo real, sino con representaciones, abstracciones de éstos. Por ello para designarlos se utilizan variables, símbolos, codificaciones.

Características principales y definición formal

En la vida cotidiana se emplean algoritmos en multitud de ocasiones para resolver problemas. Algunos ejemplos son los manuales de usuario, que muestran algoritmos para usar un aparato, o las instrucciones que recibe un trabajador por parte de su patrón. Algunos ejemplos en matemáticas son el algoritmo de la división para calcular el cociente de dos números, el Algoritmo de Euclides para obtener el máximo común divisor de dos enteros positivos, o el método de Gauss para resolver un sistema lineal de ecuaciones.

En general, no existe ningún consenso definitivo en cuanto a la definición formal de algoritmo. Muchos autores los señalan como listas de instrucciones para resolver un problema abstracto, es decir, que un número finito de pasos convierten los datos de un problema (entrada) en una solución (salida). Sin embargo cabe notar que algunos algoritmos no necesariamente tienen que terminar o resolver un problema en particular. Por ejemplo, una versión modificada de la criba de Eratóstenes que nunca termine de calcular números primos no deja de ser un algoritmo. A lo largo de la historia varios autores han tratado de definir formalmente a los algoritmos utilizando modelos matemáticos como Máquinas de Turing entre otros.

Sin embargo estos modelos están sujetos a un tipo particular de datos como son números, símbolos o gráficas mientras que, en general, los algoritmos funcionan sobre una basta cantidad de estructuras de datos.datos.En general, la parte común en todas las definiciones se puede resumir en las siguientes tres propiedades siempre y cuando no consideremos algoritmos paralelos:

  • Tiempo secuencial. Un algoritmo funciona en tiempo discretizado –paso a paso–, definiendo así una secuencia de estados "computacionales" por cada entrada válida (la entrada son los datos que se le suministran al algoritmo antes de comenzar).
  • Estado abstracto. Cada estado computacional puede ser descrito formalmente utilizando una estructura de primer orden y cada algoritmo es independiente de su implementación (los algoritmos son objetos abstractos) de manera que en un algoritmo las estructuras de primer orden son invariantes bajo isomorfismo.
  • Exploración acotada. La transición de un estado al siguiente queda completamente determinada por una descripción fija y finita; es decir, entre cada estado y el siguiente solamente se puede tomar en cuenta una cantidad fija y limitada de términos del estado actual.

En resumen, un algoritmo es cualquier cosa que funcione paso a paso, donde cada paso se pueda describir sin ambigüedad y sin hacer referencia a una computadora en particular, y además tiene un límite fijo en cuanto a la cantidad de datos que se pueden leer/escribir en un solo paso. Esta amplia definición abarca tanto a algoritmos prácticos como aquellos que sólo funcionan en teoría, por ejemplo el método de Newton y la eliminación de Gauss–Jordan funcionan, al menos en principio, con números de precisión infinita; sin embargo no es posible programar la precisión infinita en una computadora, y no por ello dejan de ser algoritmos.

En particular es posible considerar una cuarta propiedad que puede ser usada para validar la tesis de Church–Turing de que toda función calculable se puede programar en una máquina de Turing (o equivalentemente, en un lenguaje de programación suficientemente general): Aritmetizabilidad. Solamente operaciones innegablemente calculables están disponibles en el paso inicial.

Medios de expresión de un algoritmo

Los algoritmos pueden ser expresados de muchas maneras, incluyendo al lenguaje natural, pseudocódigo, diagramas de flujo y lenguajes de programación entre otros. Las descripciones en lenguaje natural tienden a ser ambiguas y extensas. El usar pseudocódigo y diagramas de flujo evita muchas ambigüedades del lenguaje natural.

Dichas expresiones son formas más estructuradas para representar algoritmos; no obstante, se mantienen independientes de un lenguaje de programación específico.La descripción de un algoritmo usualmente se hace en tres niveles:

Descripción de alto nivel. Se establece el problema, se selecciona un modelo matemático y se explica el algoritmo de manera verbal, posiblemente con ilustraciones y omitiendo detalles.

Descripción formal. Se usa pseudocódigo para describir la secuencia de pasos que encuentran la solución.

  1. Implementación. Se muestra el algoritmo expresado en un lenguaje de programación específico o algún objeto capaz de llevar a cabo instrucciones.

También es posible incluir un teorema que demuestre que el algoritmo es correcto, un análisis de complejidad o ambos.

Diagrama de flujo

Los diagramas de flujo son descripciones gráficas de algoritmos; usan símbolos conectados con flechas para indicar la secuencia de instrucciones y están regidos por ISO. Son usados para representar algoritmos pequeños, ya que abarcan mucho espacio y su construcción es laboriosa. Por su facilidad de lectura son usados como introducción a los algoritmos, descripción de un lenguaje y descripción de procesos a personas ajenas a la computación.

Diagramas Rectangulares Estructurados

Una de las dificultades de los Diagramas de Flujo radica en que así como brinda la posibilidad de representar gráficamente el flujo de la solución a un problema también abre el espacio para que un programador desordenado ponga flechas de flujo inadecuadamente y finalmente obtenga una representación más compleja que la idea misma. Precisamente la técnica de Diagramas Rectangulares Estructurados también permite usar herramientas gráficas para representar la solución a un problema con la ventaja de que no brinda la posibilidad de que seamos desordenados en nuestra concepción. Se basa en representar todo el algoritmo dentro del marco de un rectángulo y a diferencia de la técnica anterior, se mueve básicamente con la utilización de tres símbolos que corresponden a cada una de las estructuras básicas de la lógica de programación.

Pseudocódigo

Pseudocódigo es la descripción de un algoritmo que asemeja a un Lenguaje de programación pero con algunas convenciones del lenguaje natural (de ahí que tenga el prefijo pseudo, que significa falso). Tiene varias ventajas con respecto a los diagramas de flujo, entre las que se destaca el poco espacio que se requiere para representar instrucciones complejas. El pseudocódigo no está regido por ningún estándar.

El pseudocódigo tiene un grupo de palabras claves y símbolos que constituyen su vocabulario para representar las acciones esta técnica orientada hacia los algoritmos computacionales.

Para escribir un algoritmo bajo la técnica de pseudocódigo deben seguirse las siguientes normas:

  • Primera Norma: Escribir la palabra algoritmo y después de un espacio escribir el nombre del algoritmo. Es conveniente que dicho nombre haga una referencia aproximada a lo que contiene. Si a un pseudocódigo lo llamamos seudo código X es posible que más adelante no nos sea muy claro su objetivo pero si lo llamamos seudo código Liquidar es muy factible que cada vez que lo veamos nos vamos a acordar que su objetivo era la liquidación de un determinado valor. Pero si lo llamamos seudo código LiqSalNe es muy posible que cada vez que veamos este nombre nos acordemos que ese seudo código es el que nos permite Liquidar el Salario Neto.
  • Segunda Norma: Todo el cuerpo del algoritmo deberá ir “encerrado” entre las palabras Inicio y Fin indicando donde comienza y donde termina el seudo código.
  • Tercera Norma: Luego de colocada la palabra Inicio, debemos a continuación declarar el entorno con el cual vamos a trabajar.
  • Cuarta norma: Las acciones se escriben después de declarar el entorno.

Sistemas formales

La teoría de autómatas y la teoría de funciones recursivas proveen Modelos matemáticos que formalizan el concepto de algoritmo. Los modelos más comunes son la máquina de Turing, máquina de registro y funciones μ–recursivas. Estos modelos son tan precisos como un lenguaje máquina, careciendo de expresiones coloquiales o ambigüedad, sin embargo se mantienen independientes de cualquier computadora y de cualquier implementación.

Implementación

Muchos algoritmos son ideados para implementarse en un programa. Sin embargo, los algoritmos pueden ser implementados en otros medios, como una red neuronal, un circuito eléctrico o un aparato mecánico y eléctrico. Algunos algoritmos inclusive se diseñan especialmente para implementarse usando lápiz y papel. El algoritmo de multiplicación tradicional, el algoritmo de Euclides, la criba de Eratóstenes y muchas formas de resolver la raíz cuadrada son sólo algunos ejemplos.

Algoritmos como funciones

Esquemática de un algoritmo solucionando un problema de ciclo hamiltoniano. Un algoritmo se puede concebir como una función que transforma los datos de un problema (entrada) en los datos de una solución (salida). Más aún, los datos se pueden representar a su vez como secuencias de bits, y en general, de símbolos cualesquiera. Como cada secuencia de bits representa a un número natural (véase Sistema binario), entonces los algoritmos son en esencia Funciones de los Números naturales en los números naturales que sí se pueden calcular. Es decir que todo algoritmo calcula una función donde cada número natural es la codificación de un problema o de una solución.

En ocasiones los algoritmos son susceptibles de nunca terminar, por ejemplo, cuando entran a un bucle infinito. Cuando esto ocurre, el algoritmo nunca devuelve ningún valor de salida, y podemos decir que la función queda indefinida para ese valor de entrada. Por esta razón se considera que los algoritmos son funciones parciales, es decir, no necesariamente definidas en todo su dominio de definición.

Cuando una función puede ser calculada por medios algorítmicos, sin importar la cantidad de memoria que ocupe o el tiempo que se tarde, se dice que dicha función es computable. No todas las funciones entre secuencias datos son computables. El problema de la parada es un ejemplo.

Análisis de algoritmos

Como medida de la eficiencia de un algoritmo, se suelen estudiar los recursos (memoria y tiempo) que consume el algoritmo. El análisis de algoritmos se ha desarrollado para obtener valores que de alguna forma indiquen (o especifiquen) la evolución del gasto de tiempo y memoria en función del tamaño de los valores de entrada.

El análisis y estudio de los algoritmos es una disciplina de las ciencias de la computación y en la mayoría de los casos, su estudio es completamente abstracto sin usar ningún tipo de lenguaje de programación ni cualquier otra implementación; por eso, en ese sentido, comparte las características de las disciplinas matemáticas. Así, el análisis de los algoritmos se centra en los principios básicos del algoritmo, no en los de la implementación particular. Una forma de plasmar (o algunas veces "codificar") un algoritmo es escribirlo en pseudocódigo o utilizar un lenguaje muy simple tal como Léxico, cuyos códigos pueden estar en el idioma del programador.

Algunos escritores restringen la definición de algoritmo a procedimientos que deben acabar en algún momento, mientras que otros consideran procedimientos que podrían ejecutarse eternamente sin pararse, suponiendo el caso en el que existiera algún dispositivo físico que fuera capaz de funcionar eternamente. En este último caso, la finalización con éxito del algoritmo no se podría definir como la terminación de éste con una salida satisfactoria, sino que el éxito estaría definido en función de las secuencias de salidas dadas durante un período de vida de la ejecución del algoritmo.

Por ejemplo, un algoritmo que verifica que hay más ceros que unos en una secuencia binaria infinita debe ejecutarse siempre para que pueda devolver un valor útil. Si se implementa correctamente, el valor devuelto por el algoritmo será válido, hasta que evalúe el siguiente dígito binario. De esta forma, mientras evalúa la siguiente secuencia podrán leerse dos tipos de señales: una señal positiva (en el caso de que el número de ceros sea mayor que el de unos) y una negativa en caso contrario. Finalmente, la salida de este algoritmo se define como la devolución de valores exclusivamente positivos si hay más ceros que unos en la secuencia y, en cualquier otro caso, devolverá una mezcla de señales positivas y negativas.

Ejemplo de algoritmo

El problema consiste en encontrar el máximo de un conjunto de números. Para un ejemplo más complejo véase Algorítmo de Dijkstra.

Descripción de alto nivel

Dado un conjunto finito C de números, se tiene el problema de encontrar el número más grande. Sin pérdida de generalidad se puede asumir que dicho conjunto no es vacío y que sus elementos están numerados.
Para encontrar el elemento máximo, se asume que el primer elemento (c0) es el máximo; luego, se recorre el conjunto y se compara cada valor con el valor del máximo número encontrado hasta ese momento. En el caso que un elemento sea mayor que el máximo, se asigna su valor al máximo. Cuando se termina de recorrer la lista, el máximo número que se ha encontrado es el máximo de todo el conjunto.

Descripción formal

El algoritmo puede ser escrito de una manera más formal en el siguiente pseudocódigo:

Algoritmo Encontrar el máximo de un conjunto
función max(C)  //C es un conjunto no vacío de números// 
n ← | C | // | C | es el número de elementos de C//
m ← c0 
para i ← 1 hasta n hacer 
si ci > m entonces
m ← ci 
devolver m 

Sobre la notación:

"←" representa una asignación: m ← x significa que la variable m toma el valor de x;

"devolver" termina el algoritmo y devuelve el valor a su derecha (en este caso, el máximo de C).

Implementación

En lenguaje C++:

int max(int c[], int n){
int i, m = c[0];
for (i = 1; i < n; i++)
if (c[i] > m) m = c[i];
return m;
}

Tipos de algoritmos según su función

Técnicas de diseño de algoritmos

  • Algoritmos voraces (greedy): seleccionan los elementos más prometedores del conjunto de candidatos hasta encontrar una solución. En la mayoría de los casos la solución no es óptima.
  • Algoritmos paralelos: permiten la división de un problema en subproblemas de forma que se puedan ejecutar de forma simultánea en varios procesadores.
  • Algoritmos determinísticos: el comportamiento del algoritmo es lineal: cada paso del algoritmo tiene únicamente un paso sucesor y otro antecesor.
  • Algoritmos no determinísticos: el comportamiento del algoritmo tiene forma de árbol y a cada paso del algoritmo puede bifurcarse a cualquier número de pasos inmediatamente posteriores, además todas las ramas se ejecutan simultáneamente.
  • Divide y vencerás: dividen el problema en subconjuntos disjuntos obteniendo una solución de cada uno de ellos para después unirlas, logrando así la solución al problema completo.
  • Metaheurísticas: encuentran soluciones aproximadas (no óptimas) a problemas basándose en un conocimiento anterior (a veces llamado experiencia) de los mismos.
  • Programación dinámica: intenta resolver problemas disminuyendo su coste computacional aumentando el coste espacial.
  • Ramificación y acotación: se basa en la construcción de las soluciones al problema mediante un árbol implícito que se recorre de forma controlada encontrando las mejores soluciones.
  • Vuelta atrás (backtracking): se construye el espacio de soluciones del problema en un árbol que se examina completamente, almacenando las soluciones menos costosas.

Complejidad algorítmica

Sea M un algoritmo y n el tamaño de los datos de entrada y/o salida. La complejidad es una función f (n) que da el tiempo y/o espacio de almacenamiento necesario en su ejecución. Dado que el espacio es un múltiplo de n, la complejidad por lo general se refiere al tiempo de ejecución (que suele medirse por el número de operaciones claves realizadas). Usualmente se denomina a T(n) tiempo de ejecución de un programa de entradas de tamaño n. Aquí se refiere al peor de los casos, el mayor.

El tiempo de ejecución de un programa depende de:

  • Tamaño de la entrada y/o salida.
  • Calidad del código generado por el compilador.
  • Naturaleza y velocidad de las instrucciones de la máquina empleada.
  • Complejidad temporal del algoritmo.

Véase también

Bibliografía

  • Fundamentos de Algoritmia, G. Brassard y P. Bratley. (ISBN 848966000)
  • The Art of Computer Programming, Knuth, D. E. [quien fue también, el creador del TeX]
  • Introduction to Algorithms (2nd ed), Cormen, T. H., Leiserson, C. E., Rivest, R. L. y Stein, C.
  • Introduction to Algorithms. A Creative Approach, Mamber, U.
  • Algorithms in C (3r ed), Sedgewick, R. (también existen versiones en C++ y Java)
  • The Design and Analysis of Computer Algorithms, Aho, A.
  • Método de las 6'D. Modelamiento – Algoritmo – Programación. Enfoque orientado a las estructuras lógicas (2da ed.), Juan José Flores Cueto y Carmen Bertolotti Zuñiga, 2008.
  • Método de las 6'D. Modelamiento – Algoritmo – Programación. Enfoque orientado a los arreglos (1ra ed.), Juan José Flores Cueto y Gustavo Tataje Salas, 2009.

Fuentes