Curva de Hilbert
| ||||||
Curva de Hilbert, el matemático alemán David Hilbert describe esta curva en 1891, como una curva fractal continua que recubre el plano, en la que cada una de las curvas que aproximan la curva final es simple, es decir, no se corta a sí misma.
Historia
El matemático italiano Giuseppe Peano publicó en 1890, en Mathematische Annalen el primer ejemplo de una curva continua que llena el plano. Hilbert hizo una variación sobre ella (la curva de Hilbert) un año después.
Construcción
Este es un tipo de curva que rellena un cuadrado unidad de tal forma que el inicio de la curva estaría en la esquina inferior izquierda y el final en la parte inferior derecha. Su construcción se realiza siguiendo estos pasos:
- Se parte de un cuadrado unidad que se divide en 4 subdivisiones iguales. Después, cada subdivisión se numera de forma que dos números consecutivos se asocien a dos subdivisiones contiguas. Este es el paso inicial:
- Posteriormente, con cada subdivisión se realiza el mismo procedimiento que en el paso anterior, teniendo en cuenta además que la numeración debe hacerse de forma que las primeras subdivisiones que se recorran sean las correspondientes al primer cuadrado recorrido en el paso anterior. Este sería el siguiente paso:
- Así, se va realizando este proceso un número n de veces suficientemente grande hasta que el tamaño de las áreas de cada subdivisión tienda a cero y la curva tienda a ocupar toda la superficie del cuadrado (la trayectoria de la curva es densa en el cuadrado, y en el infinito igual al cuadrado).
Aplicaciones
La Curva de Hilbert tiene aplicación práctica en el tratamiento de imágenes, en un proceso conocido como dithering (SIGGRAPH 1991).
La curva de Hilbert ofrece una alternativa al escaneo de una imagen línea a línea. Esto permite aplicarla para conseguir, por ejemplo, difuminados o degradados de mejor calidad. Difuminar a lo largo de la curva de Hilbert, que es extremadamente irregular para nuestro sistema sensorial, elimina el problema de la adyacencia de puntos que posee un escaneo en líneas horizontales.
