Homomorfismo de grupos

Homomorfismo de grupos

Homomorfismo de grupos. Función que se establece entre grupos para conservar la estructura de los mismos.

Definición

Si para dos grupos B y C y una aplicación

f: B → C. Se cumple que:

    f(x + y) = f(x) + f(y) (para todo x, y).

Significa que la imagen del elemento x + y del conjunto B es igual que la imagen del elemento x + la imagen del elemento y.

Debemos tener en cuenta que el signo + no representa la operación suma, sino la operación que se ha definido en el conjunto para que tenga estructura de grupo.

Teorema

Sean B y C dos grupos y f: B → C un homomorfismo. Se cumple que:

1. si 1_B y 1_C son las identidades de B y C, respectivamente, entonces f(1_B) = 1_C; Al elemento neutro del dominio, le corresponde el elemento neutro del codominio, según un homomorfismo.

2. si x está en B entonces f(x ^{− 1}) = f(x) ^{− 1}.. La imagen del inverso es igual al inverso de la imagen.

Núcleo de un homomorfismo

Sean B y C dos grupos y sea f un homomorfismo entre ellos. El núcleo de f se define como el conjunto.

Ker f = { x está en B / f(x)= 1_C, donde 1_C es la identidad de C. El núcleo de un homomorfismo es el conjunto de todos los elementos del dominio cuya imagen es igual al elemento neutro del codominio.

Ejemplo si f es el homomorfismo del grupo aditivo Z de los números enteros en el grupo Z₅ de los restos de congruencia módulo 5, formado por {0,1,2, 3,4}, Kerf = {x entero/ x = múltiplo de 5}

Kerf es un subgrupo normal; en el ejemplo, los múltiplos de 5, con la adición, forman un subgrupo normal De Z.

Tipos de homomorfismos

• Un homomorfismo suprayectivo se llama epimorfismo.

• Un homomorfismo inyectivo se llama monomorfismo.

• Un homomorfismo biyectivo cuya inversa es también un homomorfismo se llama isomorfismo. Dos objetos isomorfos son totalmente indistinguibles por lo que a la estructura en cuestión se refiere.

• Un homomorfismo de un conjunto a sí mismo se llama endomorfismo. Si es además un isomorfismo se llama automorfismo.

Bibliografía

• Introducción a la teoría de grupos de P.S. Alexándrov, Editorial URSS, Moscú/2005
• Introducción al álgebra de A. I. Kostrikin Editorial Mir, Moscú/ 1963
• Curso de álgebra Vol. 1 de Abramo Hefez, Ediciones IMPA, Lima/2001.
• Álgebra moderna ... de Róbinson castro Pulche, Ecoe ediciones, Bogotá/2013

Fuentes

• Wikipedia en Español
• Domotica