Ley de Euler
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Ley de Euler. En Matemáticas y más especifícamente Álgebra y Análisis Matemático expresión que asocia la representación de números complejos normales y la exponenciación de dicho mismo número.
El valor de la misma, al de establecer un vínculo poderoso entre la trigonometría y el análisis matemático, trasciende a la aritmética de complejos para la radicación, potencia, exponenciación y logaritmos de reales negativos y de complejos y como soporte para demostrar algunas propiedades operatorias de los complejos: por ejemplo, la significación geométrica de la multiplicación y división de complejos y la Ley de Moivre.
Uno de sus casos particulares, la identidad de Euler, vincula a 5 importantes números: '0, 1, e, 
e i.
Sumario
Definición
Sea un número complejo ib puramente imaginario, donde b es real cualquiera que representa un ángulo en radianes; a la expresión:
se le conoce como Ley de Euler.
Identidad de Euler
Para el caso particular en que 
, la expresión se reduce a:
y se escribe en lo que se conoce como identidad de Euler:
que vincula a las importantes constantes 0, 1 que son los neutros para la suma y el producto y e y son las conocidas base de los logaritmos naturales y la longitud de la semicircunferencia de radio unitario y finalmente i, que es la raíz cuadrada de -1 y señalizador de la parte imaginaria de los números complejos.
Estas expresiones se atribuyen a Leonhard Euler quien las definiera y popularizara en 1748, aunque se conoce que Roger Cotes en 1714 la había formulado también. En ambos casos sus autores desconocían de la interpretación geométrica pues la representación cartesiana de un número complejo no llegaría hasta 1787 de la mano de Caspar Wessel en su informe para la Real Academia Danesa.
Importancia
La ley de Euler establece un importante vínculo entre la trigonometría y el cálculo, al asociar la exponenciación de la parte imaginaria compleja con la representación de un complejo cuyo módulo es 1. También es la base para la representación exponencial de complejos y como base demostrativa para la Ley de Moivre; esto sin excluir el hecho de clarificar el procedimiento para exponenciar complejos, calcular raíces, determinar logaritmos de argumentos negativos y facilitar el trabajo del cálculo computacional de las funciones trigonométricas.
Desarrollo en series potencias de Taylor
Cuando por ejemplo se desarrolla la exponenciación en series de potencias de Taylor tenemos:
pero en el caso de un exponenciacion con un imaginario ix, la expresión previa quedaría:
se agrupan las partes reales e imaginarias como sigue:
entonces las expresiones reales se asocian al coseno y las imaginarias al seno:
siendo de gran ayuda para el cálculo numérico de los valores de cualquiera de ellas y para su implementación computacional.
Logaritmos de reales negativos
Ya sabemos que la suma de dos logaritmos es el logaritmo del producto de ambos argumentos:
Entonces para un negativo -x, la propiedad anterior queda:
de manera que el escollo estaría en resolver ln(-1). Pero la identidad de Euler nos expresa que su solución es:
y al final el logaritmo de -x se calcula mediante la expresión:
Veáse también
Fuentes
- I. Bronshtein, K. Semendiaev. Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes. 2da Edición. Editorial MIR, Moscú. 1973.
- [1]. Disponible en "es.wikipedia.org". Consultado 1 de diciembre de 2014.
- [2]. Disponible en "es.wikipedia.org". Consultado 1 de diciembre de 2014.
