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Tangente

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Concepto:Relativa a un ángulo agudo de un triángulo rectángulo, razón entre las longitudes del cateto opuesto y el cateto adyacente al ángulo.

Tangente. Relativa a un ángulo agudo de un triángulo rectángulo, razón entre las longitudes del cateto opuesto y el cateto adyacente al ángulo.

Razones en el triángulo rectángulo

Figura 1

Las razones (cocientes) entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo dependen solo de las amplitudes de sus ángulos agudos. Veamos esta afirmación con más detenimiento (figura 1):
Sea MAN un ángulo agudo.
Desde un punto cualquiera de uno de sus lados (B) distinto del vértice A consideremos una recta perpendicular al otro lado, formando el triángulo ABC rectángulo en C, o sea con catetos de longitudes a y b, e hipotenusa c.
Sea B' otro punto cualquiera (B' ≠ A) del lado AM y B un punto cualquiera (B ≠ A) del lado AN. Consideremos las perpendiculares B'C' y BC a AN y AM respectivamente. Los tres triángulos ABC, AB'C' y ABC tienen sus ángulos iguales (ya que son rectángulos y tienen un ángulo común), luego son semejantes, y como tales sus lados homólogos son proporcionales.

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Estas razones entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo son de importancia fundamental en el estudio de la trigonometría. Para un ángulo agudo del triángulo rectángulo, a la razón entre la longitud del cateto opuesto al ángulo y la longitud del cateto adyacente al ángulo se le llama Tangente del ángulo y se denota por tan (tg), o sea:
tan α = a/b, y tan β = b/a
Por ser α y β ángulos complementarios, en las relaciones anteriores se observa que:
tan α = 1/(tan(90° - α))

Valores de la tangente para los ángulos notables de 30°, 45° y 60°

Figura 2

Consideremos un triángulo ABC equilátero de lado 2 (figura 2). Sea BD la perpendicular por B a AC. En en triángulo ADB rectángulo en D se tiene que el ángulo DAB mide 60° y el ángulo ABD mide 30°, AB = 2, AD = 1, BD = √3, por lo tanto:
tan 60° = √3
tan 30° = √3/3
Para comprobar que tan 45° = 1 basta considerar un triángulo rectángulo isósceles.

Fuentes