Teorema de Sturm
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Teorema de Sturm. Tiene como principal objetivo, descubrir los ceros de una función polinómica.
Sumario
Historia
El método fue desarrollado por el matemático francés Jacques Charles François Sturm (29 de septiembre de 1803 – 15 de diciembre de 1855) y tiene como principal objetivo: determinar intervalos en los cuales se encuentran los ceros reales de una función polinómica.
Notaciones
Las divisiones se realizan hasta que fk+1(x) sea un polinomio constante Consideraremos la sucesión f0, f1,…, fk+1 la cual llamaremos sucesión de polinomios de Sturm:
- Se evalúa la sucesión en x=a y sea W(a) la cantidad de cambios de signo. .
- Se evalúa la sucesión en x=b y sea W(b) la cantidad de cambios de signo. .
- Los términos nulos deben ser descartados para contar los cambios de signo. .
Teorema de Sturm
Si los números reales a y b (a<b) no son raíces del polinomio f(x), el cual carece de raíces múltiples, entonces:
- W(a) ≥ W(c) .
- W(a) - W(c) da el número de raíces reales de la ecuación f(x)=0 en el intervalo (a, b). .
En la práctica
- Evaluar a f en dos números (uno negativo y el otro positivo) lo suficientemente grandes en valor absoluto. Con ello se determina la cantidad de raíces reales.
- Evaluar en x=0 y contamos los cambios de signo de la sucesión.
- Con 1 y 2 determinar la cantidad de raíces reales negativas y no negativas.
- Evaluar en otros números, negativos y no negativos, se afinan los intervalos en los cuales se encuentran las raíces.
Ejemplo 1
Determinar los intervalos donde se encuentran los ceros de la función definida por la ecuación f(x)=x3-9x2+24x-36.
Solución
Derivando y realizando las divisiones indicadas por el método se tienen los polinomios:
f0 (x) = x3-9x2+24x-36
f1 (x) =3x2-18x+24
f2 (x) =18x+108
f3 (x) = -77760
Se construye la tabla de signos con K >0 “suficientemente grande “
| Signos | -K | 0 | K |
| f0 (x) | - | - | + |
| f1 (x) | + | + | + |
| f2 (x) | - | + | + |
| f3 (x) | - | - | - |
| Cambios | 2 | 2 | 1 |
Solo existe una raíz real y ésta es positiva. Las dos restantes son imaginarias conjugadas.
| Signos | 0 | 10 |
| f0 (x) | - | + |
| f1 (x) | + | + |
| f2 (x) | + | + |
| f3 (x) | - | - |
| Cambios | 2 | 1 |
Con esta nueva evaluación notamos que la raíz se encuentra en el intervalo (0,10). Realizando otras evaluaciones se puede ir disminuyendo la longitud del intervalo donde se encuentra la raíz.
Fuente
- CURSO DE ÁLGEBRA SUPERIOR, A. G. Kurosch
