Teorema de existencia
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Torema de existencia. Un teorema de existencia es un teorema que asevera que cada uno, de una extensa gama de problemas, tiene una solución de tipo particular. Un caso podría ser de esta manera: ¿cuándo puede hallarse valor para x como función de y una ecuación de la forma f(x) = y? En este caso x puede estar definida por una fórmula tal como x2 - log(2x-1), establecida para los números reales x de algún intervalo, tal como [2, 6 ] e y representa , por ejemplo, 27/4. El problema se plantea de este modo: ¿existe algún valor de x entre 2 y 6 tal que x2 - log(2x-1) = 27/4?.
Sumario
Definiciones del teorema
La respuesta a esta pregunta no debe acudir al método de hallar el valor o valores de x en casos particulares. El asunto es encontrar un criterio para determinar si existe o no solución, pero sea utilizable en una extensa clase de problemas.. Ya con el criterio que nos asegure que el problema específico tiene solución, podemos embarcarnos en el esfuerzo de hallarla, pero con la certeza de que nuestra pretensión alcanzará un éxito.
Lo que se exige es que la función sea continua en el intervalo cerrado; tome signos distintos la función en los extremos del intervalo. Si todo ello ocurre es seguro que exista la solución.
Si queremos saber si para una ecuación de segundo grado en una incógnita, con coeficientes racionales, existen raíces reales, bastará probar que el discriminante D= b2-4ac >=0.
¿En qué casos se puede resolver el sistema f(x,y)= m, g(x,y) = n en x, e y en función de a y b? Un ejemplo sencillo es el sistema de ecuaciones lineales
- 5x + 3y = 9 y x- 3y = 3. Se puede discernir su resolubilidad por el criterio del determinante de los coeficientes de las incógnitas.
Sistema de ecuaciones en R
Se trata de hallar un para de números reales x e y que satisfagan las dos ecuaciones:
- x log y/ (1+y2)= -174, 2x2= 8
- se pregunta si hay solución para x entre 2/5 y 2, e y que esté entre -0.75 y 1.5.
El criterio de la posible existencia de la solución conlleva el concepto relacionado al número de vueltas que una curva del plano rodea a un punto. También habrán de usarse los conceptos de compacidad, conexión y continuidad. Los principales teoremas son afirmaciones relativas a la existencia de ceros de polinomios, puntos fijos de transformaciones y singularidades de campos vectoriales.
Lección bimilenaria de la historia
Téngase presente la historia de los famosos problemas de la trisección del ángulo, de la cuadratura del círculo y de la duplicación del cubo, haciendo solamente empleo de la regla y el compás. Se esforzaban, inmutablemente, resolver el problema con la implícita admisión de que la solución existiera; lo difícil era hallarla. Hasta fines del siglo de las luces a nadie se le ocurrió cavilar en la posibilidad de que la solución no existiera. Vale decir, que las pruebas de no existencia estaban cercanas, muy cercanas. Una vez que el asunto de existencia se propuso con nitidez, fue resuelta con rapidez. En las investigaciones actuales, los temas de existencia se acometen en primer lugar. Su respuesta es fundamental para que las teorías tengan basamentos firmes.
Ecuaciones diferenciales
Consideremos el siguiente problema de valor inicial, en ecuaciones diferenciales ordinarias:
- y' x = f(x,y), y(x 0) = y 0
Este problema tiene salida positiva con el teorema de de existencia de Cauchy. Si f(x,y) es continua en una región, en la vecindad del punto (x0, y0) es decir para |x-x0 |< a y |y-y0 |< b, entonces existe por lo menos una solución de la ecuación
- y'x = f(x,y)
que está definida y es continua en un intervalo alrededor de x0 y toma el valor y0 para x0.
Fuente
- W. G. Chinn con N.E. Steenrood. Primeros conceptos de topología. Alhambra, S.A, Madrid, 1975.
- Kiseliov, Krasnov y Makarenko. Problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. editorial Mir, Moscú, 1987
- Yu. Shashkin. Puntos fijos. Editorial MIR, Moscú, 1991, traduce del ruso, A. Molina García. ISBN 5-03-002250-3
Véase también
- Teorema
