Transformada de Laplace

Transformada de Laplace Concepto: Procedimiento desarrollado por el matemático y astrónomo francés Pierre Simón Marques de Laplace, que permite cambiar funciones de la variable del tiempo t a una función de la variable compleja s.

Transformada de Laplace. Es una herramienta matemática de gran alcance formulada para solucionar una variedad amplia de problemas del inicial-valor. La estrategia es transformar las ecuaciones diferenciales difíciles en los problemas simples de la álgebra donde las soluciones pueden ser obtenidas fácilmente.

La transformada de Laplace de una función ƒ(t) definida para todos los números positivos t ≥ 0, es la función F(s), definida por:
F(s)= L{ƒ(t)}=∫₀^∞ e^-st ƒ(t)dt

Mientras la integral esté definida. Cuando ƒ(t) es una distribución con una singularidad en 0, la definición es
F(s)= L{ƒ(t)}= lim_ɛ→0∫_-ɛ^∞ e^-st ƒ(t)dt

También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:
F_B(s)= L{ƒ(t)}=∫_-∞^∞ e^-st ƒ(t)dt

Historia

La transformada de Laplace recibe su nombre en honor a Pierre Simon Laplace (1749-1827) matemático y astrónomo francés tan famoso en su tiempo que se le conocía como el Newton de Francia. Sus principales campos de interés fueron la Mecánica Celeste, o movimiento planetario, la teoría de probabilidades, y el progreso personal. Prueba de sus talentos son

• Mécanique Céleste monumental tratado en sobre cuestiones de gravitación publicado en cinco volúmenes entre los anos de 1799 y 1825. El principal legado de esta publicación reside en el desarrollo de la teoría de potencial, con implicaciones de largo alcance en ramas de la física que van desde la gravitación, la mecánica de fluídos, el magnetismo y la física atómica.

• Théorie Analytique des Probabilités que se considera la más grande contribución a esa parte de las matemáticas. Como anécdota, el libro inicia con palabras que mas o menos dicen "En el fondo, la teoría de probabilidades no es si no el sentido común reducido a cálculos", puede ser que si, pero las 700 páginas que le siguen a esas palabras son un análisis intrincado, en el cual usa a discreción la transformada de laplace, las funciones generatrices, y muchas otras técnicas no triviales.

• Tras la Revolución Francesa, el talento político y la ambición de Laplace alcanzaron su cenit; Laplace se adaptaba demasiado fácilmente cambiando sus principios; yendo y viniendo entre lo republicano y monárquico emergiendo siempre con una mejor posición y un nuevo título.

• Uno de los defectos principales que se le han atribuido en detrimento de su reputación es la omisión de toda referencia a los descubrimientos de sus predecesores y contemporáneos, dejando entrever que las ideas eran suyas del todo.

• La ayuda prestada a los jovenes talentos científicos fue un gran acierto; entre esos jovenes se encuentan: el químico Gay-Lussac, el naturalista Humboldt, el físico Poisson, y al joven Cauchy, que estaría destinado a convertirse en uno de los artífices principales de las matemáticas del siglo XIX

Contexto

La Transformada de Laplace es una técnica Matemática que forma parte de ciertas transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la transformada de Mellin entre otras. Estas transformadas están definidas por medio de una integral impropia y cambian una función en una variable de entrada en otra función en otra variable. La transformada de Laplace puede ser usada para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales y Ecuaciones Integrales. Aunque se pueden resolver algún tipo de ED con coeficientes variables, en general se aplica a problemas con coeficientes constantes. Un requisito adicional es el conocimiento de las condiciones iniciales a la misma ED. Su mayor ventaja sale a relucir cuando la función en la variable independiente que aparece en la ED es una función seccionada.

Cuando se resuelven ED usando la técnica de la transformada, se cambia una ecuación diferencial en un problema algebraico. La metodología consiste en aplicar la transformada a la ED y posteriormente usar las propiedades de la transformada. El problema de ahora consiste en encontrar una función en la variable independiente tenga una cierta expresión como transformada.

Características fundamentales

• Es un método operacional que puede usarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales.

• Las funciones senoidales, senoidales amortiguadas y exponenciales se pueden convertir en funciones algebraicas lineales en la variable S.

• Sirve para reemplazar operaciones como derivación e integración, por operaciones algebraicas en el plano complejo de la variable S.

• Permite usar técnicas gráficas para predecir el funcionamiento de un sistema sin necesidad de resolver el sistema de ecuaciones diferenciales correspondiente.

Existencia de la Transformada

Condiciones suficientes para la existencia de la transformada de Laplace para S > α de una función cualquiera:

1. Estar definida y ser continua a pedazos en el intervalo [0;∞)
2. Ser de orden exponencial α

Propiedades de la Transformada

En las siguientes propiedades se asume que las funciones ƒ(t) y g(t) con funciones que poseen transformada de Laplace.

Linealidad

L{a ƒ(t)+b g(t)} = aL{ƒ(t)} + bL{g(t)}

• Idea

La transformada de Laplace se distribuye sobre las sumas o restas y saca constantes que multiplican.

Versión para la inversa:
L^-1{aF(s)+bG(s)}= aL^-1{F(s)}+ bL^-1{G(s)}

Primer Teorema de Traslación

L { ƒ(t) e^at } = F(s-a), donde: L{ ƒ(t) } = F(s)

• Idea

La transformada de Laplace se convierte un factor exponencial en una traslación en la variable s.

Versión para la inversa:
L^-1{ F(s-a)} = e^-at L^-1 {F(s)}

Teorema de la transformada de la derivada

L { ƒ '(t) } = s L { ƒ(t) } - ƒ(0)

• Idea

La transformada de Laplace cancela la derivada multiplicando por la variable s.

Teorema de la transformada de la integral

L {ʃ₀^t ƒ(t) dt} = 1/s L { ƒ(t)}

Teorema de la integral de la transformada

L { ƒ(t) / t } = ʃ_s^∞ L { ƒ(t) } ds, Siempre y cuando exista lim_t→0 ƒ(t) / t

Teorema de la derivada de la transfoemada

L {tⁿ ƒ(t)} = (-1)ⁿ (dⁿ/dsⁿ) L {ƒ(t)}

Transformada de la función escalón

Si U_a(t) representa la función escalón unitario, entonces: L {U_a(t)} = (1/s) e^-as

Segundo teorema de Traslación

L { ƒ(t) U_a(t)} = e^as L { ƒ(t+a)}

Transformada de una función periódica

Si ƒ(t) es una función periódica, con período T:
L { ƒ(t)} = e^as L { ƒ(t+a)} = (1/ (1-e^-T_s))ʃ_o^T ƒ(t)e^-sTdt

Teorema de la Convolución

Si ƒ * g representa la convolución entre las funciones ƒ y g entonces:

L{ ƒ * g} = L{ƒ} * L{g}

Tabla de funciones

Algunas Funciones Elementales
ƒ(t)	L {ƒ(t)} = F(s)
K	K/S
t	1/s2
tn	n!/sn+1
eat	1/ s-a
sen at	a/ s2 + a2
cos at	s/ s2 + a2
senh at	a/ s2 - a2
cosh at	s/ s2 - a2

Fuentes

• itesm.mx / Transformada de Laplace, Consultado el 19 de diciembre de 2011
• Wikipedia / Transformada de Laplace, Consultado el 19 de diciembre de 2011
• monografias.com / La Transformada de Laplace, Consultado el 19 de diciembre de 2011
• monografias.com / Series de Fourier y Transformada de La Place, Consultado el 19 de diciembre de 2011