Axioma

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Axioma
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Axioma. Premisa que se considera evidente y es aceptada sin requerir una demostración previa. Sistema hipotético-deductivo; es toda proposición que no se deduce de otras, sino que constituye una regla general de pensamiento lógico, por oposición a los Postulados.

Contenido

Generalidades

En Matemática, un axioma es una premisa que, por considerarse evidente, se acepta sin demostración, como punto de partida para demostrar otras fórmulas. Tradicionalmente, los axiomas se eligen de entre las consideradas «verdades evidentes» porque permiten deducir las demás fórmulas.

En Lógica matemática, un postulado es una proposición, no necesariamente evidente: una Fórmula bien formada de un Lenguaje formal utilizada en una Deducción para llegar a una Conclusión.

En matemática se distinguen dos tipos de proposiciones: Axiomas lógicos y postulados.

Terminología

La palabra axioma proviene del Griego αξιωμα, que significa "lo que parece justo" o aquello que es considerado evidente y sin necesidad de demostración. La palabra viene del griego αξιοειν (axioein) que significa "valorar", que a su vez procede de αξιος (axios) que significa "valuable" o "digno". Entre los antiguos Filósofos griegos, un axioma era aquello que parecía ser verdadero sin ninguna necesidad de prueba.

Conceptos

El axioma es uno de los conceptos fundamentales de la forma de conocer que llamamos Forma científica de conocer o adquisición de conocimiento científico. Del análisis de esta forma de conocer se ocupa la Epistemología.

El concepto de axioma no ha permanecido invariable a lo largo de la historia, sino que se ha ido modificando como consecuencia de nuestra mayor comprensión de las posibilidades de conocer y del alcance del propio conocimiento científico.

El axioma es una proposición Primitiva de un Sistema científico, es decir, una proposición que se admite sin demostración. A partir del Conjunto de axiomas se deduce rigurosamente todas las restantes proposiciones del sistema científico. Además de los axiomas propiamente dichos, el sistema axiomático consta de términos primitivos y reglas. Los términos primitivos carecen de definición; a partir de ellos se definen todos los restantes términos.

Las Reglas son de dos tipos, las de formación y las de transformación; éstas a veces también se llaman de Inferencia. Las reglas de formación son como la gramática del sistema científico en cuestión: nos dicen qué es una proposición significativa dentro del sistema. Las reglas de transformación o de inferencia nos dicen cómo obtener o deducir nuevas proposiciones de las proposiciones ya poseídas.

En Lógica

La Lógica del axioma es partir de una Premisa calificada verdadera por sí misma (el axioma) e inferir sobre ésta, otras Proposiciones por medio del Método deductivo, obteniendo conclusiones coherentes con el axioma. Los axiomas han de cumplir sólo un requisito: de ellos, y de Reglas de inferencia, han de deducirse todas las demás proposiciones de una teoría dada.

Criterio de los Lógicos

Desde hace cien años los lógicos han perseguido tenazmente la axiomatización de su ciencia, labor que en la Edad Media se había abordado de modo más bien parcial. La Apoteosi de los sistemas axiomáticos es Principia Matemática de Whitehead y Russell. Allí de unos pocos axiomas se intenta deducir toda la lógica y la matemática, porque siguiendo al lógico alemán Gottlob Frege, Whitehead y Russell creían que la matemática era simplemente una parte de la lógica.

Hubo varias modificaciones posteriores a Principia Matemática; por ejemplo, David Hilbert mostró cómo es posible prescindir de uno de los cinco axiomas de la Lógica Proposicional de Principia Matemática, que resultó no ser independiente de los demás.

Lukasiewicz, como resultado de una meditación sobre el Peri Hermeneias de Aristóteles, describió un sistema en que las Proposiciones, además de verdaderas o falsas, podrían ser indeterminadas; en términos técnicos construyó una Lógica trivalente en vez de Bivalente. Autores como Post escribieron sobre lógicas de muchos valores veritativos, es decir, Polivalentes. Otros lógicos experimentaron con sistemas que no incluían el concepto de negación.

Con todo esto se modifica el mismo concepto de axioma. En el caso de Principia Matemática, los axiomas no son lo que es mejor conocido que las conclusiones. Las relaciones matemáticas, por ejemplo, 3+5=8, son mucho más obvias que la definición de número o las proposiciones acerca de conjuntos.

Asimismo el principio de no contradicción es más evidente que el llamado Principio de sumación, aunque formalmente el principio de no-contradicción no es axiomático, sino derivado en Principia Matemática. El axioma se ha convertido en un medio de economía intelectual. Se hace una especie de juego lógico en el que se pretende obtener el mayor número de conclusiones posibles del menor número de principios posibles.

Características de los Axiomas

Los axiomas son ciertas fórmulas en un Lenguaje que son universalmente válidas, esto es, fórmulas que son satisfechas por cualquier estructura y por cualquier Función variable. En términos coloquiales, son enunciados que son verdaderos en cualquier mundo posible, bajo cualquier interpretación posible y con cualquier asignación de valores. Usualmente se toma como axiomas un Conjunto mínimo de Tautologías que son suficientes para probar una teoría.

Los sistemas axiomáticos

Kurt Göde demostró a mediados del Siglo XX que los Sistemas axiomáticos de cierta complejidad, por definidos y Consistentes que sean, poseen serias limitaciones. En todo sistema de una cierta complejidad, siempre habrá una proposición P que sea verdadera, pero no demostrable. De hecho, Gödel prueba que, en cualquier Sistema formal que incluya la Aritmética, puede formarse una Proposición P que afirme que este enunciado no es demostrable.

Axioma del silogismo

Principio básico del silogismo; Aristóteles lo formuló como sigue:

««Cuando a una cosa, en calidad de sujeto, se le atribuye algo, todo lo que se dice del predicado se dirá también del sujeto»».
En vez de las palabras «se atribuye», Aristóteles empleaba a menudo el término «inherente», y consideraba equivalentes las expresiones: «A se atribuye a B» y «B está contenido en A». De este modo, el axioma del silogismo es susceptible de interpretación tanto por su contenido (intensiva) como por su extensión (extensiva). En la lógica formal tradicional, el significado del axioma del silogismo se revela al reducir todos los silogismos a los de la primera figura (Silogística). En la lógica formal moderna, el problema relativo al axioma del silogismo se resuelve en el contexto de un problema más amplio, el de la axiomatización de la silogística.

Fuentes

  • Cameron, Peter J. Sets, Logic and Categories, Springer, New York.
  • Definición de axioma en Symploke.
  • Devlin, Keith. The Joy of Sets (Fundamentals of Contemporary Set Theory), Springer, New York.
  • Halmos, Paul R. Naive Set Theory, Springer, New York.
  • Suppes,Patrick. Axiomatic Set theory, Van Nostrand Company, New York.
  • Diccionario soviético de filosofía