Cuerpos de revolución

Cuerpos de revolución
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Concepto:Los cuerpos de revolución son los cuerpos geométricos que se forman al girar una figura plana alrededor de un eje.

Cuerpos de revolución. Cuerpo obtenido a partir del giro de una figura plana alrededor de un eje. Los tres cuerpos de revolución más importantes son el cilindro, el cono y la esfera.
La observación de la naturaleza nos muestra la existencia de variadas formas en los cuerpos materiales que la componen y nos proporciona la idea de volumen, superficie, línea, y punto.
Por necesidades prácticas, el desarrollo de técnicas usadas para medir, construir o desplazarse, llevaron al hombre a hacer uso de las diversas propiedades de las figuras geométricas y, en muchos casos a formar “cuerpos” a partir de estas.

Reseña histórica

La Geometría es una de las más antiguas ciencias. Inicialmente, constituía un cuerpo de conocimientos prácticos en relación con las longitudes, áreas y volúmenes. En el Antiguo Egipto estaba muy desarrollada, según los textos de Heródoto, Estrabón y Diodoro Sículo.

Una vez adquiridas estas nociones y prescindiendo de su origen práctico, la Geometría (medición de la Tierra), de ser un conjunto de técnicas, pasó a constituir una disciplina matemática formal, donde la figura geométrica es un ente abstracto y sus propiedades el objeto de estudio de la Geometría.

Cilindro

Definición y elementos

El cilindro es el cuerpo que se obtiene a partir de un rectángulo que gira alrededor de uno de sus lados.

Explcilin.jpg

Cálculo del área

Si se desarrolla la superficie lateral del cilindro de radio r y de altura h, se obtiene una superficie plana que es un rectángulo.
El largo del rectángulo es igual a la longitud de las circunferencias que limitan las bases ( L= 2πr ) y su altura es igual a la altura del cilindro.

Calcir.jpg

Por tanto el área lateral (AL) del cilindro es igual al área del rectángulo ABCD obtenido.

Arealat.jpg

El área total (AT) del cilindro es igual a la suma del área lateral y las de sus dos bases.

Areatot.jpg

Sustituyendo

Formulacil.jpg

Se obtiene:

Formulacil1.jpg

Y es de esta forma que se puede hallar el área del cilindro.

Cálculo del volumen

El volumen de un prisma es igual al producto del área de la base por la altura:

Formulacil2.jpg

Esta misma fórmula es la que se utiliza para calcular el volumen de un cilindro.

Formulacil3.jpg

Cono

Definición y elementos

El cono es el cuerpo obtenido de un triángulo rectángulo que gira alrededor de uno de sus catetos.

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Área del cono

Si se desarrolla la superficie lateral del cono de radio r, generatriz g y altura h, se obtiene una superficie plana que es un sector circular de radio g, determinado por un arco b cuya longitud es igual a la longitud de la circunferencia de la base: b = 2πr.

Desarrollocono.PNG

Por tanto:

El área lateral del cono es igual al área del sector circular así obtenido. El área del sector circular se calcula utilizando la proporción siguiente:

Areasectcirc.jpg

Sustituyendo en (1)

Sustituc1.jpg

El área total del cono circular recto es igual a la suma del área lateral y el área de su base.

Formcono.jpg

Cálculo de su volumen

La relación que existe entre los volúmenes de un prisma y el de una pirámide que tengan iguales las bases y la altura, es la misma que existe entre los volúmenes de un cilindro y un cono que cumplan estas mismas condiciones.

O sea: el volumen de un cono de radio r y altura h es igual a la tercera parte del volumen del cilindro de igual radio y altura.

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Esfera

Definición y elementos

La esfera es el cuerpo que se obtiene a partir de un semicírculo que gira alrededor de su diámetro.

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Cálculo del área de una esfera

El área de una esfera de radio r es el área de la superficie curva que la limita:

Cálcárea1.jpg

Volumen de la esfera

El volumen de una esfera de radio r es:

Volumesfera.jpg

Se puede comprobar experimentalmente que el volumen de un cono de radio r y la altura h con h = 2r, es igual a la mitad del volumen de la esfera del mismo radio.

Volumesfera1.jpg

Fuente