Demostración matemática

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Demostración Matemática
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Concepto:Es una cadena finita de proposiciones verdaderas, que se obtienen con ayuda de reglas de inferencia lógicas.

Demostración Matemática. Es una cadena finita de proposiciones verdaderas, que se obtienen con ayuda de reglas de inferencia lógicas. El punto de partida de esta cadena son proposiciones cuya verdad es conocida. El punto final de la cadena es el teorema a demostrar. Cada miembro de la cadena se obtiene del anterior mediante reglas de inferencia lógica.

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En la demostración de teoremas matemáticos aparece la regla de inferencia lógica de la forma proposicional A resulta la forma proposicional B, si y solo si cada interpretación de las variables que satisfacen a A, satisface también a B y para ello se utiliza el siguiente teorema de la lógica matemática: De A resulta B si y solo si la implicación es válida.

Pero la implicación es un teorema matemático cuya validez puede ser comprobada por una demostración. Podemos ahorrarnos, las interpretaciones de las variables de A y de B; siendo solo necesario demostrar el teorema. La expresión se expresa de la forma “de A resulta B o sí A entonces B”, siendo estas las formas en que comúnmente aparecen expresados los teoremas matemáticos.

Diferentes vías para la demostración de un teorema

Son los métodos que se usan para demostrar un teorema y que son aplicados en muchos campos de la Matemática.

Existe el método de demostración directa y el método de demostración indirecta.

El Método Directo

Consiste en partir de las premisas (datos) del teorema y aplicando las reglas de la lógica y la teoría desarrollada, obtener o llegar a la tesis (conclusión) del teorema después de un número finito de pasos.

El Método Indirecto

Consiste en negar la tesis del teorema y a partir de esta proposición y con ayuda de las reglas de la lógica y la teoría desarrollada encontrar una contradicción respecto a las premisas, una proposición verdadera o respecto a la suposición. Aquí se interrumpe el desarrollo práctico de la demostración, puesto que una proposición y su negación no pueden ser verdaderas a un mismo tiempo. Y de aquí se concluye que la tesis del teorema es verdadera.

Como se puede observar para demostrar un teorema se hace necesario identificar las premisas y la tesis del teorema; luego si se quiere demostrar una proposición si es posible, ya que no siempre se puede, expresar esta en la forma de una implicación, lo que permitirá de una manera más fácil obtener las premisas y la tesis de la proposición a demostrar.

Demostraciones por Inducción Completa

Es un método especial de demostración matemática que permite, a base de observaciones particulares, juzgar de las regularidades generales correspondientes.

La Inducción (o sea, la sugerencia de una idea o una hipótesis) sin dudas desempeña en las matemáticas un papel importante, pero puramente heurístico: permite adivinar cuál debe ser, según todas las apariencias, la solución. Pero las proposiciones matemáticas se demuestran siempre deductivamente. Ningún resultado matemático puede considerarse justo, válido, si no ha sido deducido de las proposiciones de partida.

Bibliografía

  • Metodología de la Enseñanza de la Matemática Tomo I, Editorial Pueblo y Educación. 1992.
  • Lógica y procedimientos lógicos del aprendizaje. ICCP. La Habana 1993.
  • Guetmánova, A: Lógica. Editorial Pueblo y Educación. 1990.
  • Díaz, A: El desarrollo de procesos lógicos en la Educación Superior.
  • Pedagogía 90. Ciudad de la Habana. 1990.
  • Metodología y técnica que contribuyen a estimular el desarrollo intelectual. Proyecto Cubano TEDI. 1993.

Fuentes