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Desigualdad triangular

Desigualdad triangular
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Triángulo.JPG
Concepto:La distancia más corta entre dos puntos es la línea recta.

Desigualdad triangular. Axioma que define la característica de que entre dos puntos distintos la menor distancia es el segmento de recta que los une.

En el caso de los triángulos, indica que cualquier lado siempre es menor en longitud que la suma de los restantes.

Esta propiedad sirve también para caracterizar las métricas o distancias que a la larga definen las estructuras de tipo topológica y diversas geometrías

Definición

Sean tres puntos A, B, C no alineados se cumple siempre:

  • |AB|<|BC|+|AC|.
  • |AC|<|AB|+|BC|.
  • |BC|<|AB|+|AC|.

A esta propiedad se denomina Desigualdad triangular.

La variante de en lugar de la desigualdad estricta usar una semidesigualdad (menor o igual) se emplea en algunas métricas y definiciones de estructuras matemáticas.

Importancia.

La desigualdad triangular permite definir que tres segmentos a, b, c puedan conformar o no un triángulo. A continuación aparece un fragmento de código Python donde aparece una función booleana que determina si dichos segmentos pueden conformar los lados de un triángulo aplicando la desigualdad triangular.

def Lados_Triangulo(a,b,c): return (a<b+c) and (b<a+c) and (c<a+b)

Métricas.

Es una de las propiedades básicas que sirve desde los puntos de vista algebraico, geométrico para identificar a las métricas o distancias.

En cualquier caso si d es una métrica debe satisfacer la desiguladad triangular:

  • d(a,b)<d(a,c)+d(c,b) para cualesquiera 3 objetos a, b, c.

Métrica discreta.

Sea la Métrica discreta definida como sigue:

  • d(x,y)=0 si x=y.
  • d(x,y)=1 si no.

para a, b, c objetos distintos se cumple siempre la desigualdad triangular:

d(a,b)<d(a,c)+d(c,b)
<=> 1<1+1
<=> 1<2 (Verdadero).

Métrica euclideana.

Sea la Métrica euclideana o distancia euclideana definida según la expresión:

  • Metrica euclideana.gif

donde A=(a1;a2;...;an) y B=(b1;b2;...;bn).

Si además se tiene otro punto C=(c1;c2;...;cn). También se cumple:

d(A,B)<d(A,C)+d(C,B)

Fuentes.

  1. I. Bronshtein, K. Semendiaev. Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes. 2da Edición. Editorial Mir, Moscú. 1973.
  2. K. Ribnikov. Análisis Combinatorio. Editorial Mir. Moscú, 1988. Páginas 17-23.
  3. Desigualdad_triangular en Wikipedia. Revisado 25 de marzo de 2012.
  4. Distancia en Wikipedia. Revisado 25 de marzo de 2012.