Infinitésimos

Infinitésimo Concepto: Función cuyo límite es cero cuando la variable independiente x se aproxima hacia el valor x = a.

Un infinitésimo o un infinitesimal es una cantidad infinitamente pequeña utilizada en el cálculo infinitesimal, que se define como límite y se considera como número en la práctica.

Definición

Una función y = f(x) es infinitamente pequeña, infinitesimal ó infinitésimo cuando x→a (o bien cuándo x→∞) si y solo si

De la definición se deduce si

Entonces para cualquier número ε, por pequeña que sea, existe un entorno de radio δ (a - δ, a + δ) tal que para cada x que pertenece a (a - δ, a + δ) se verifica que ǀf(x)ǀ < ε.

Si

Entonces para cualquier número ε, por pequeño que sea existe un número x₀ que pertenece al conjunto de números reales tal que para cada x > x₀ se verifica que ǀf(x)ǀ < ε.

Es decir, un infinitésimo es una función cuyo límite es cero cuando la variable independiente x se aproxima hacia el valor x = a, o dicho de otra forma, una función cuyos valores se aproximan tanto más al cero cuanto más se aproxima x hacia el valor a. Por tanto, en el concepto de infinitésimo hay que tener presente no sólo la función f, sino también el punto a. La función f es infinitésimo, en las proximidades del punto a. Suele decirse que es infinitésimo en x = a.

Ejemplos

Las siguientes funciones son infinitésimos en x = 0,

• f(x) = x
• g(x) = 1-cos(x)

Las siguientes funciones son infinitésimos,

• h(x) = 1/x cuando x→∞
• k(x) = sen x cuando x→0

Propiedades

1. La suma finita de infinitésimos es un infinitésimo.
2. El producto de dos infinitésimos es un infinitésimo.
3. El producto de un infinitésimo por una función acotada es un infinitésimo.
4. El producto de una constante por un infinitésimo es un infinitésimo.
5. La división de un infinitésimo por un escalar no nulo es un infinitésimo

Infinitésimos comparables

Al comparar infinitésimos se puede observar la rapidez con la cual tienden a cero. Sean α (x) y β (x) dos infinitésimos en a.

• Se dice que α (x) y β (x) tienen el mismo orden si

• Se dice que el orden de f(x) es mayor que el orden de g(x)

• Se dice que el orden de f(x) es menor que el orden de g(x)

• Cuando no existe se dice que los infinitésimos no son comparables.

Infinitésimos equivalentes

Dos infinitésimos α y β son equivalentes cuando

se escribirá en este caso α (x) ≈ β (x) cuando x→ a. Análogamente cuando x→ ∞

Es decir, que las dos funciones α (x) y β (x) tienden hacia a a la misma velocidad, por lo que en las proximidades de a los valores de α (x) y los de β (x) son casi iguales. Esto nos permitirá, sustituir una función por otra en determinadas circunstancias, simplificando con ello de manera muy importante el cálculo de algunos límites.

Ejemplos de infinitésimos equivalentes cuando x → 0

• sen x ≈ x ≈ arcsen x
• tg x ≈ arctg x
• 1 – cos x ≈ x2/2
• ax – 1 ≈ x lna

Definición de orden de un infinitésimo

Sean α(x) y β(x) dos infinitésimos en x→a, diremos que α(x) es un infinitésimo de orden n respecto de β(x) si y solo si

c que pertenece al conjunto de números reales. Análogamente cuando x→∞.

Teorema 1 La suma de dos infinitésimos de distinto orden es equivalente al infinitésimo de menor orden. (Cuando x→a ó x→∞).

Demostración Supongamos que α(x) y β(x) dos infinitésimos cuando x→a y que β es de mayor orden que α, entonces

Luego α(x) + β(x) ≈ α(x) cuando x→a. (Análogamente cuando x→∞). Por inducción, el teorema se puede generalizar para la suma de un número finito de infinitésimos.

Teorema 2 El límite cuando x→a de toda expresión de la forma Ζ(x)α(x) donde α(x) es un infinitésimo cuando x→a, no varía si se sustituye α(x) por un infinitésimo equivalente Ζ(x) que cumpla la condición de ser no nulo en un cierto entorno de a.

(Análogamente se probará para x→∞).

Fuentes

• Baranenkov, G., Deminovich B., Efimenco, V., Kogan, S., Lunts, G., Porshneva, E., Sichova, E., Frolov, S., Shostak, R. y A. Yampolski (1977): Problemas y ejercicios de análisis matemático (págs. 31-32). Moscú: Mir, 1977.
• varios autores: Análisis matemático 1, tomo I. La Habana (Cuba): Ministerio de Educación Superior, Departamento de Textos y Materiales Didácticos, sin año.