Diferencia entre revisiones de «Función exponencial»
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| − | + | La definición de función exponencial exige que la base sea siempre positiva y diferente de uno (b>0 y b≠1). La condición que b sea diferente de uno se impone, debido a que al reemplazar a b por 1, la [[Función|función]] bx se transforma en la [[Función constante|función constante]] f(x) = 1. La base no puede ser negativa porque funciones de la forma f(x)=(-9)1/2 no tendrían sentido en los números reales. | |
| − | + | El dominio de la [[Función_exponencial|función exponencial]] está formada por el conjunto de los [[Números reales|números reales]] y su recorrido está representado por el conjunto de los [[Números positivos|números positivos]]. | |
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| − | La tabla siguiente muestra algunos valores para la [[función]] de base dos. | + | La tabla siguiente muestra algunos valores para la [[Función|función]] de base dos. |
x -3 -2 -1 0 1 2 3 | x -3 -2 -1 0 1 2 3 | ||
f(x) 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 | f(x) 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 | ||
| − | Para graficar esta función se localizan estos puntos en un [[plano cartesiano]], uniéndolos con una curva suave, tal como se modela en la siguiente escena. Mueve el punto P y observa el comportamiento de la [[función]] a medida que: | + | Para graficar esta función se localizan estos puntos en un [[Plano cartesiano|plano cartesiano]], uniéndolos con una curva suave, tal como se modela en la siguiente escena. Mueve el punto P y observa el comportamiento de la [[Función|función]] a medida que: |
| − | * x crece ilimitadamente. | + | *x crece ilimitadamente. |
| − | * x decrece ilimitadamente. | + | *x decrece ilimitadamente. |
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y=f(x)=(1/2)x | y=f(x)=(1/2)x | ||
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f(x) 8 4 2 2 1/2 1/4 1/8 | f(x) 8 4 2 2 1/2 1/4 1/8 | ||
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| − | Utiliza la siguiente escena para analizar el comportamiento de otras funciones exponenciales, para diferentes valores de b. Usa las flechas para modificar el valor de la base b. Compara el comportamiento de la [[función]] para valores de b | + | Utiliza la siguiente escena para analizar el comportamiento de otras funciones exponenciales, para diferentes valores de b. Usa las flechas para modificar el valor de la base b. Compara el comportamiento de la [[Función|función]] para valores de b>1 y valores de comprendidos entre 0<b<1. |
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*Toma valores positivos para cualquier valor de x. | *Toma valores positivos para cualquier valor de x. | ||
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*Todas las funciones pasan por el punto (0,1). | *Todas las funciones pasan por el punto (0,1). | ||
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| − | *El eje x es una asíntota horizontal, hacía la izquierda si b | + | *El eje x es una asíntota horizontal, hacía la izquierda si b>1 y hacía la derecha si b<1. |
*La definición exige que la base sea positiva y diferente de uno. | *La definición exige que la base sea positiva y diferente de uno. | ||
| − | *Si b=0 la [[función]] se transforma en la [[función constante]] 0. | + | *Si b=0 la [[Función|función]] se transforma en la [[Función constante|función constante]] 0. |
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Revisión del 12:29 11 abr 2011
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Funciones exponenciales. Se llaman así a todas aquellas funciones de la forma f(x) = bx, en donde la base b, es una constante y el exponente la variable independiente. Estas funciones tienen gran aplicación en campos muy diversos como la Biología, Administración, Economía, Química, Física e Ingeniería.
Sumario
Definición
La definición de función exponencial exige que la base sea siempre positiva y diferente de uno (b>0 y b≠1). La condición que b sea diferente de uno se impone, debido a que al reemplazar a b por 1, la función bx se transforma en la función constante f(x) = 1. La base no puede ser negativa porque funciones de la forma f(x)=(-9)1/2 no tendrían sentido en los números reales.
El dominio de la función exponencial está formada por el conjunto de los números reales y su recorrido está representado por el conjunto de los números positivos.
La función exponencial de base dos
y=f(x)=2x
La tabla siguiente muestra algunos valores para la función de base dos.
x -3 -2 -1 0 1 2 3
f(x) 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8
Para graficar esta función se localizan estos puntos en un plano cartesiano, uniéndolos con una curva suave, tal como se modela en la siguiente escena. Mueve el punto P y observa el comportamiento de la función a medida que:
- x crece ilimitadamente.
- x decrece ilimitadamente.
La Función exponencial de base 1/2
Analicemos ahora el comportamiento de la función exponencial de base 1/2. Mueve el punto P y observa el comportamiento de la función cuando x tiende a +¥ y cuando x tiene a -¥.
y=f(x)=(1/2)x
x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x) 8 4 2 2 1/2 1/4 1/8
La Función exponencial para cualquier valor de b
Utiliza la siguiente escena para analizar el comportamiento de otras funciones exponenciales, para diferentes valores de b. Usa las flechas para modificar el valor de la base b. Compara el comportamiento de la función para valores de b>1 y valores de comprendidos entre 0<b<1.
Las escenas anteriores permiten deducir que:
- La función exponencial existe siempre para cualquier valor de la variable independiente x.
- Toma valores positivos para cualquier valor de x.
- El dominio de la Función_exponencial es todo el conjunto de los números reales.
- Todas las funciones pasan por el punto (0,1).
- Las gráficas de las funciones exponenciales de la forma f(x)=bx, con b1 son crecientes. Los valores de la función crecen cuando x aumenta.
- Las gráficas de las funciones exponenciales de la forma f(x)=bx, con 0<b<1 son decrecientes. Los valores de la función decrecen cuando x aumenta.
- El eje x es una asíntota horizontal, hacía la izquierda si b>1 y hacía la derecha si b<1.
- La definición exige que la base sea positiva y diferente de uno.
- Si b=0 la función se transforma en la función constante 0.
