Números de Fibonacci
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Números de Fibonacci Una sucesión de números muy conocida y usada en matemáticas es, precisamente, la sucesión de Fibonacci. Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci construyó por primera vez la sucesión que lleva su nombre.
Definición
Se llaman números de Fibonacci a aquellos que forman parte de la sucesión infinita de numeros naturales donde cada número se calcula sumando los dos anteriores a él.
La sucesión de Fibonacci es la sucesión de números:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 88, 144, ...
Historia
La sucesión de Fibonacci es una secuencia de números enteros descubierta por matemáticos hindúes hacia el año 1135 y descrita por primera vez en Europa gracias a Leonardo Fibonacci.
Esta sucesión fue descrita por Fibonacci como la solución a un problema de la cría de conejos.
Muchas propiedades de la sucesión de Fibonacci fueron descubiertas por Édouard Lucas, responsable de haberla denominado como se la conoce en la actualidad.
Esta serie ha tenido popularidad en el siglo XX especialmente en el ámbito musical, en el que compositores como Béla Bartok u Olivier Messiaen la han utilizado para la creación de acordes y de nuevas estructuras de frases musicales.
La sucesión de Fibonacci ha tenido intrigados a los matemáticos durante siglos, debido a su tendencia a presentarse en los lugares más inopinados, pero sobre todo, porque el más novel de los aficionados en teoría de números, aun con conocimientos poco más allá de aritmética elemental, puede aspirar a investigarla y descubrir curiosos teoremas inéditos, de los que parece haber variedad inagotable.
El interés por esta sucesión (y por las llamadas sucesiones generalizadas de Fibonacci, que son las formadas a partir de dos enteros positivos cualesquiera y, a partir de ahí, cada término es la suma de los dos anteriores) se ha avivado recientemente pues tiene aplicación en clasificación de datos, generación de números aleatorios...
Regla
La sucesión de Fibonacci se puede escribir como una "regla": la regla es xn = xn-1 + xn-2 donde: xn es el término en posición "n" xn-1 es el término anterior (n-1) xn-2 es el anterior a ese (n-2) Por ejemplo el sexto término se calcularía así:
x6 = x6-1 + x6-2 = x5 + x4 = 5 + 3 = 8.
Propiedades curiosas
La sucesión de Fibonacci tiene muchas propiedades curiosas:
- La suma de los n primeros términos es: a1 + a2 +... + an = an+2 - 1
- La suma de los términos impares es: a1 + a3 +... + a2n-1 = a2n
- La suma de los términos pares es: a1 + a4 +... + a2n = a2n+1 - 1
- La suma de los cuadrados de los n primeros términos es: a12 + a22 +... + an2 = anan+1
- Si n es divisible por m entonces an es divisible por am
- Los números consecutivos de Fibonacci son primos entre si.
- La propiedad mas curiosa de esta sucesión es que el cociente de dos números consecutivos de la serie se aproxima a la razón áurea. Esto es: an+1/an tiende a (1 + ð 5)/2
Aplicaciones
Aparte de que esta sucesión tiene varias propiedades interesantes, lo más curioso de esta es su presencia en la naturaleza. La sucesión de Fibonacci está muy ligado a la vida y estos hechos lo demuestran:
- Los machos de una colmena de abejas tienen un árbol genealógico que cumple con esta sucesión. El hecho es que los zánganos, el macho de la abeja, no tiene padre (1), pero sí que tiene una madre (1, 1), dos abuelos, que son los padres de la reina (1, 1, 2), tres bisabuelos, ya que el padre de la reina no tiene padre (1, 1, 2, 3), cinco tatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5), ocho tataratatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5, 8) y así sucesivamente, cumpliendo con la sucesión de Fibonacci
- En la mano humana también se encuentra esta recurrencia, la longitud del metacarpo es la suma de las dos falanges proximales y la longitud de la primera falange es la suma de las dos falanges distales.
- El número de pétalos de una flor es generalmente un término de Fibonacci. Hay flores con 2 pétalos, 3, 5, 8, 13, 21, 34, pero muy rara vez es un número que no esté en esta sucesión.
- Las espirales de los girasoles.
- Las espirales de las piñas.
- La altura de la cadera y la altura de la rodilla.
- La altura de un ser humano y la altura de su ombligo.
- La cría de los conejos.
Y muchas otras cosas…
