Ecuación en diferencias finitas
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Ecuación en diferencias finitas. En matemáticas, una ecuación en diferencias finitas o EDFes una ecuación cuya solución es una sucesión. En la ecuación aparecen algunos términos de la sucesión.
Sumario
Ejemplo
yn+1 - yn = n, para todo n natural.
La solución (o soluciones) de esta EDF debe ser una sucesión {yn} tal que la diferencia del término (n+1)-ésimo y su término anterior n-ésimo es n. Una solución de esta EDF es la sucesión
yn = 2 - 0.5·n + 0.5·n2
Comprobación:
El término (n+1)-ésimo es
yn+1 = 2 - 0.5·(n + 1) + 0.5·(n + 1)2 = 2 - 0.5n + 0.5n2 + n
Por lo que si se le resta el término que le precede se obtiene
yn + 1 - yn = 2 - 0.5n + 0.5n2 + n -2 + 0.5·n - 0.5·n2 = n
con lo que se verifica la EDF para todo n natural.
Otra solución de la misma EDF es la sucesión yn = -0.5n + 0.5n2.
EDF con condiciones iniciales
A la EDF se le pueden añadir los términos iniciales de la sucesión incógnita para acotar el conjunto de soluciones.
Ejemplo
Si a la EDF del ejemplo anterior, yn = 2 - 0.5·n + 0.5·n2, se le añade la condición inicial y0 = 0, entonces la primera solución escrita anteriormente deja de ser una solución puesto que y0 = 2. En cambio, la sucesión yn = -0.5n + 0.5n2 es una solución de la EDF que sí cumple la solución inicial.
