Ecuación en diferencias finitas
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Ecuación en diferencias finitas. En matemáticas, una ecuación en diferencias finitas o EDFes una ecuación cuya solución es una sucesión. En la ecuación aparecen algunos términos de la sucesión.
Características
El Método de Diferencias Finitas es un método de carácter general que permite la resolución aproximada de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales definidas en recintos finitos. Es de una gran sencillez conceptual y constituye un procedimiento muy adecuado para la resolución de una ecuación bidimensional como la que hemos planteado.
La ecuación en diferencias finitas proporciona una descripción fundamental del sistema DSP al que representa. Si embargo , a veces, se necesita cierta información adicional denominadas condiciones iniciales, auxiliares o de contorno.
Ejemplo
yn+1 - yn = n, para todo n natural.
La solución (o soluciones) de esta EDF debe ser una sucesión {yn} tal que la diferencia del término (n+1)-ésimo y su término anterior n-ésimo es n. Una solución de esta EDF es la sucesión
yn = 2 - 0.5·n + 0.5·n2
Comprobación:
El término (n+1)-ésimo es
yn+1 = 2 - 0.5·(n + 1) + 0.5·(n + 1)2 = 2 - 0.5n + 0.5n2 + n
Por lo que si se le resta el término que le precede se obtiene
yn + 1 - yn = 2 - 0.5n + 0.5n2 + n -2 + 0.5·n - 0.5·n2 = n
con lo que se verifica la EDF para todo n natural.
Otra solución de la misma EDF es la sucesión yn = -0.5n + 0.5n2.
EDF con condiciones iniciales
A la EDF se le pueden añadir los términos iniciales de la sucesión incógnita para acotar el conjunto de soluciones.
Entonces...
Si a la EDF del ejemplo anterior, yn = 2 - 0.5·n + 0.5·n2, se le añade la condición inicial y0 = 0, entonces la primera solución escrita anteriormente deja de ser una solución puesto que y0 = 2. En cambio, la sucesión yn = -0.5n + 0.5n2 es una solución de la EDF que sí cumple la condición inicial.
