Ecuación en diferencias finitas

Ecuación en diferencias finitas Concepto: Suma de la solución de la homogénea y de una solución particular: x = xh + xp

Ecuación en diferencias finitas. En matemáticas, una ecuación en diferencias finitas o EDF es una ecuación cuya solución es una sucesión. En la ecuación aparecen algunos términos de la sucesión.

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Ejemplo

y_n+1 - y_n = n, para todo n natural.

La solución (o soluciones) de esta EDF debe ser una sucesión {y_n} tal que la diferencia del término (n+1)-ésimo y su término anterior n-ésimo es n. Una solución de esta EDF es la sucesión

y_n = 2 - 0.5·n + 0.5·n²

Comprobación:

El término (n+1)-ésimo es

y_n+1 = 2 - 0.5·(n + 1) + 0.5·(n + 1)² = 2 - 0.5n + 0.5n² + n

Por lo que si se le resta el término que le precede se obtiene

y_{n + 1} - y_n = 2 - 0.5n + 0.5n² + n -2 + 0.5·n - 0.5·n² = n

con lo que se verifica la EDF para todo n natural.

Otra solución de la misma EDF es la sucesión y_n = -0.5n + 0.5n².

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Definición formal de EDF

Se denomina Ecuación en diferencias finitas (EDF) de orden k a la ecuación

y_n+k + a_k-1y_n+k-1 + a_k-2y_n+k-2+ ... + a₁y_n+1 + a₀y₀ = f(n)

donde los términos a_q (para todo q) son los coeficientes de la ecuación y f(n) es el término independiente. Si f(n) = 0 para todo n, entonces se dice que la EDF es homogénea. Si no, se dice que es no homogénea.

EDF con condiciones iniciales

A la EDF se le pueden añadir los términos iniciales de la sucesión incógnita para acotar el conjunto de soluciones.

Ejemplo

Si a la EDF del ejemplo anterior, y_n = 2 - 0.5·n + 0.5·n², se le añade la condición inicial y₀ = 0, entonces la primera solución escrita anteriormente deja de ser una solución puesto que y₀ = 2. En cambio, la sucesión y_n = -0.5n + 0.5n² es una solución de la EDF que sí cumple la condición inicial.

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Véase también

Método de las diferencias finitas