Ecuación en diferencias finitas
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Ecuación en diferencias finitas. En matemáticas, una ecuación en diferencias finitas o EDF es una ecuación cuya solución es una sucesión. En la ecuación aparecen algunos términos de la sucesión.
Sumario
Ejemplo
yn+1 - yn = n, para todo n natural.
La solución (o soluciones) de esta EDF debe ser una sucesión {yn} tal que la diferencia del término (n+1)-ésimo y su término anterior n-ésimo es n. Una solución de esta EDF es la sucesión
yn = 2 - 0.5·n + 0.5·n2
Comprobación:
El término (n+1)-ésimo es
yn+1 = 2 - 0.5·(n + 1) + 0.5·(n + 1)2 = 2 - 0.5n + 0.5n2 + n
Por lo que si se le resta el término que le precede se obtiene
yn + 1 - yn = 2 - 0.5n + 0.5n2 + n -2 + 0.5·n - 0.5·n2 = n
con lo que se verifica la EDF para todo n natural.
Otra solución de la misma EDF es la sucesión yn = -0.5n + 0.5n2.
Definición formal de EDF
Se denomina Ecuación en diferencias finitas (EDF) de orden k a la ecuación
yn+k + ak-1yn+k-1 + ak-2yn+k-2+ ... + a1yn+1 + a0y0 = f(n)
donde los términos aq (para todo q) son los coeficientes de la ecuación y f(n) es el término independiente. Si f(n) = 0 para todo n, entonces se dice que la EDF es homogénea. Si no, se dice que es no homogénea.
Polinomio característico
Se define el polinomio característico de la EDF de la definición anterior como el sumatorio de ai·ri siendo 0 ≤ i ≤ k.
EDF con condiciones iniciales
A la EDF se le pueden añadir los términos iniciales de la sucesión incógnita para acotar el conjunto de soluciones.
Ejemplo
Si a la EDF del ejemplo anterior, yn = 2 - 0.5·n + 0.5·n2, se le añade la condición inicial y0 = 0, entonces la primera solución escrita anteriormente deja de ser una solución puesto que y0 = 2. En cambio, la sucesión yn = -0.5n + 0.5n2 es una solución de la EDF que sí cumple la condición inicial.
