Homomorfismo de grupos
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Homomorfismo de grupos. Función que se establece entre grupos para conservar la estructura de los mismos.
Definición
Si para dos grupos B y C y una aplicación
f: B → C. Se cumple que:
f(x + y) = f(x) + f(y) (para todo x, y).
Significa que la imagen del elemento x + y del conjunto B es igual que la imagen del elemento x + la imagen del elemento y.
Debemos tener en cuenta que el signo + no representa la operación suma, sino la operación que se ha definido en el conjunto para que tenga estructura de grupo.
Teorema
Sean B y C dos grupos y f: B → C un homomorfismo. Se cumple que:
1. si 1B y 1C son las identidades de B y C, respectivamente, entonces f(1B) = 1C;
2. si x Archivo:Pertenece.JPG B entonces f(x − 1) = f(x) − 1.
Núcleo de un homomorfismo
Sean B y C dos grupos y sea f un homomorfismo entre ellos. El núcleo de f se define como el conjunto.
Ker f = { x Archivo:Pertenece.JPG B / f(x)= 1C, donde 1C es la identidad de C.
Tipos de homomorfismos
- Un homomorfismo suprayectivo se llama epimorfismo.
- Un homomorfismo inyectivo se llama monomorfismo.
- Un homomorfismo biyectivo cuya inversa es también un homomorfismo se llama isomorfismo. Dos objetos isomorfos son totalmente indistinguibles por lo que a la estructura en cuestión se refiere.
- Un homomorfismo de un conjunto a sí mismo se llama endomorfismo. Si es además un isomorfismo se llama automorfismo.
