Recta

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Recta
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Concepto:Sucesión infinita de puntos, situados en una misma dirección.

Recta o Linea recta. Dícese fundamentalmente en geometría del lugar geométrico compuesto por infinitos puntos que satisfacen la ecuación lineal:

  • Ecuacion canonica general recta.gif

o extendidamente:

  • A1x1+A2x2+...+Anxn+A0=0

donde xi corresponden a distintas dimensiones de la geometría en cuestión (plana, espacial, etc.) y Aj son los coeficientes numericos de dichas variables.

Definiciones.

Línea de dirección constante. Una recta puede ser definida por dos puntos a los que une recorriendo su menor distancia. Una recta está formada por infinitos puntos y no tiene principio ni fin.

De forma general es el lugar geométrico constituido por todos los puntos (x1,x2,...,xN) que cumplen:

  • A1x1+A2x2+...+Anxn+A0=0

A0 se llama coeficiente independiente al no estar asociado a ninguna variable. Es importante notar que los coeficientes Ai pueden ser cero, pero al menos uno debe quedar con un valor no nulo o de lo contrario ya no seria una ecuación lineal.

La recta es uno de los entes Geométricos fundamentales, junto al Punto y el Plano. Son considerados conceptos apriorísticos ya que su definición sólo es posible a partir de la descripción de las características de otros elementos similares. Así, es posible elaborar definiciones basándose en los postulados característicos que determinan relaciones entre los entes fundamentales.

  • Una recta tiene una sola dimensión interior: la longitud entre dos puntos alineados.
  • Dos puntos determinan una recta, para mayor exactitud un segmento de recta.
  • Las rectas se nombran mediante dos de sus puntos o por una letra minúscula.
  • Una recta indica una dirección y dos sentidos contrarios, normalmente desde un punto de referencia que pertenece a la recta.

Partes de una recta

Si marcamos un punto en una recta, quedará dividida en dos partes llamadas semirrectas. El punto marcado se denomina origen de la Semirrecta

  • semirrecta: cada una de las dos partes en que divide a una recta uno cualquiera de sus puntos.

Si en una recta marcamos dos puntos, quedará dividida en tres partes: dos semirrectas y un segmento. Los puntos se denominan extremos del Segmento.

  • segmento: parte de una recta comprendida entre dos de sus puntos. Si A y B son puntos distintos de la recta L, entonces segmento AB = { X de L/ X está entre A y B} U {A, B}

Clases de recta.

La recta en el plano.

La recta o línea recta, es el ente ideal que se extiende en una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos, está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos). También se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, o sea, no posee principio ni fin.

Características de la recta.

Una recta significará siempre una línea que se prolonga indefinidamente en dos sentidos opuestos. Al dibujar una recta, se trazan puntas de flechas para enfatizar el hecho de que la recta no termina. Algunas de las características de la recta son las siguientes:

  • La recta se prolonga al infinito en ambos sentidos.
  • La distancia más corta entre dos puntos está en una línea recta, en la Geometría euclideana.
  • La recta es un conjunto de puntos situados a lo largo de la intersección de dos planos.

Propiedades de la recta.

  • Dos rectas se Intersecan en un punto, y sólo en uno.
  • Si fuera de una recta se encuentra un punto, el punto y la recta están contenidos en un plano, y sólo en uno.
  • Si dos rectas se intersecan, ambas están contenidos en un plano, y sólo en uno.
  • Si en una misma recta están tres puntos, no más de uno está situado entre los otros dos.
  • En un rayo existe un punto, y sólo uno, situado a una distancia dada del punto extremo del rayo.
  • Un segmento tiene un Punto medio y sólo uno.

Postulados

  • Por dos puntos pasa una recta y solamente una.
  • Dos rectas no pueden tener más que un solo punto común.
  • Una línea tiene una sola dimensión: Longitud.

Posición relativa entre dos rectas

Según la posición relativa en que se encuentren dos rectas, se definen como:

  • rectas que se cortan: si tienen un punto en común. En este caso están contenidas en un plano.
  • rectas paralelas: si mantienen indefinidamente la distancia entre ellas. En este caso están contenidas en un plano.
  • rectas que se cruzan: si no se cortan ni son paralelas. En este caso no están contenidas en un plano.

Ecuaciones de la recta

Las líneas rectas pueden ser expresadas mediante una Ecuación del tipo y = m x + b, donde x, y son variables en un plano. En dicha expresión m es denominada la "Pendiente de una recta" y está relacionada con la inclinación que toma la recta respecto a un par de ejes que definen el plano. Mientras que b es el denominado "Término independiente" u "Ordenada al origen" y es el valor del punto en el cual la recta corta al Eje vertical en el plano.

  • Ecuación general es Ax + By+ C = 0 donde A 2 + B 2 es distinto de 0.
  • Ecuación segmentaria x/a + y/b cuando pasa por M(a; 0) y N(0, b)
  • Con vector director: P = P0 + αv; α recorre el conjunto de los reales . Donde P0 es el punto de paso; v es el vector director.
  • Ecuación pendiente y ordenada en el origen y = mx + k; donde m es la pendiente y k es la ordenada en el orígen.
  • Ecuación punto pendiente: y - y 0 = m(x - x 0). Punto conocido P 0 ( x 0, y 0) y la pendiente m.
  • Ecuación con dos puntos conocidos: y - y 0/ x - x 0 = y 1 - y 0 / x 1 - x 0;

conociendo los dos puntos P 0 ( x 0, y 0) y P 1 ( x 1, y 1) [1]

Ecuaciones de la recta en el espacio

  • Considerando la recta como la intersección de dos planos, queda determinada por dos ecuaciones simultáneas en tres variables de primer grado
  1. A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0
  2. A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 con la exigencia de que los coeficientes de la primera ecuación no sean proporcionales a los coeficientes de la segunda. [2]
  • Conociendo un punto P 0 ( x 0, y 0 , z 0 ) y el vector director a = (h, j, k)

x - x 0 / h = y - y 0/ j = z - z 0 / k . [3]

  • Como dato: dos puntos del espacio P 0 ( x 0, y 0 , z 0 ) y P 1 ( x 1, y 1 , z 1 )

x - x 0 / x 1 - x 0 = y - y 0/ y 1 - y 0 = z - z 0 / z 1 - z 0

  • Ecuaciones paramètricas, dados un punto P 0 ( x 0, y 0 , z 0 ) y el vector director a = (h, j, k)
  1. x = x 0 + i t
  2. y = y 0 + j t
  3. z = z 0 + k t; donde el parámetro t toma cualquier valor real, es un parámetro variable arbitrario [4]

Ecuaciones de la recta en el espacio n- dimensional

  • P = P 0 + t a, donde P 0 es un punto dado de R n y a un vector de n componentes y t, un parámetro arbitrario.

[5]

Generalización
  • En cualquier sistema de coordenadas, toda recta se determina usando ecuaciones de la forma

, x i = u i t + x i 0, para i = 1, ..., n

en la cual no todos los números u i son nulos; y recíprocamente, todo sistema de ecuaciones de este tipo, en cualquier sistema de coordenadas representa una recta. [6]

Referencias

  1. D. Kletenik Problemas de geometría analítica Editorial Mir Moscú (1968)
  2. D. Kletenik Op. cit.
  3. D. Kletenik Op. cit.
  4. D. Kletenik Op. cit. pág 190
  5. Iu. M. Smirnov Curso de geometría analítica
  6. Iu. M. Smirnov Curso de geometría analítica Editorial URSS Moscú (2005) pág. 59

Fuentes.