Triángulo de Pascal

Triangulo de Pascal Concepto: Construcción matemática en forma de triángulo donde cada fila se construye a partir de los valores presentes en la anterior.

Triángulo de Pascal. También llamado Triángulo de Tartaglia por haber propuesto un esquema rectangular de los coeficientes binomiales, Nicola Tartaglia. Mucho antes de los anteriores es conocido como triángulo de Yan Hui (1303) en China, y en Irán como triángulo de Jayyam (1100). Y en Europa, como triángulo aritmético es una disposición triangular de filas crecientes en cantidad de elementos que son números enteros positivos, de arriba hacia abajo. Está enlazado al desarrollo de las sucesivas potencias enteras positivas de un binomio, donde cada número representa el coeficiente de los términos que forman el polinomio resultante: coeficiente binomial. Se puede utilizar para calcular la probabilidad de ocurrencia de un cierto suceso en un experimento aleatorio.

Características

• Todas las filas comienzan y terminan con 1, y son simétricas respecto al elemento central si la fila contiene una cantidad impar de coeficientes, pero si hay cantidad par, los elementos aparecen guardando simetría respecto de un punto imaginario.
• Cada número del triángulo corresponde a la suma de los dos números ubicados encima de él. Estos coeficientes representan la cantidad de casos favorables de un determinado suceso.
• La suma de todos los elementos de cada fila corresponde al valor 2ⁿ, siendo n el orden de la fila.
• Se puede seguir su construcción, teóricamente, de manera infinita y pragmáticamente hasta un número de filas alto.
• Es posible elaborar un algoritmo que permita diseñar los elementos de las filas mediante un programa informático.

Construcción

Para construir el triángulo se comienza por un triángulo formado por tres números uno, para obtener la tercera fila se coloca un uno en cada extremo y el valor central se obtiene sumando los dos números que le quedan encima.

Se repite el procedimiento para las demás filas teniendo en cuenta que cada una incrementa un número más y que los extremos siempre corresponden a números uno.

Mirada en el tiempo

• Esta disposición ya era conocida por los matemáticos de la Antigua india en el siglo II a.n.e.
• Posteriormente, manuscritos chinos lo registran precisamente, en un texto de Al-Kashi.
• El triángulo aritmético también se documenta en los trabajos de Stifel (1543), Stevin (1625) y Hérigone (1634)
• Es presumible que Pascal conocía los trabajos de los expertos europeos mencionados y "con toda seguridad se puede afirmar que él conocía el Cursus mathematicus de Heritage"
• Pascal escribió sobre este asunto en su trabajo Traité du triangle arithmétique (1664) y a la disposición triangular la nombró triángulo aritmético, la cual se conoce también como triángulo de Pascal o triángulo de Tartaglia.

Aporte de Tartaglia

Tartaglia en General trattato di numeri et misuri presenta la siguiente disposición rectangular en 1556.

1 1 1 1 1 1...

1 2 3 4 5 6...

1 3 6 10 15 21...

1 4 10 20 35...

1 5 15 35 ...

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Fuentes

• Colectivo de autores. Estadística, probabilidad y precálculo, Manual esencial. Editorial Santillana, Santiago de Chile, 2008 ISBN: 978-956-15-1390-7
• Artículo El triángulo de Pascal. Disponible en la Web "www.disfrutalasmatematicas.com" Consultado el 23 de noviembre de 2011.
• Artículo Triángulo de Pascal. Disponible en "www.estadisticaparatodos.es" Consultado: 23 de noviembre de 2011.
• Artículo El triángulo de Pascal y la sucesión de Fibonacci. Disponible en la Web "gaussianos.com" Consultado el 23 de noviembre de 2011. Consultado el 23 de noviembre de 2011.
• Uspensky. Triángulo de Pascal, Editorial Mir, dominio público.