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♥ La Vida, es como un cielo caído como las estrellas ♦ las cosas que vemos no solamente son por verlas hay algo en nuestro corazón a lo cual hace ver el reflejo del alma y brillaremos al final de los cielos para conquistar miles de corazones rotos ♥ perp para amar a una persona: Debemos amarnos así mismo como lo cual debemos saber respetarnos y saber que la vida nos regalara un nuevo Corazón de otra persona que literalmente debemos cuidarlo, amarlos, darle apoyo, sostenerlo , luchar por el y nunca dejarlo , porque el amor que debemos tener por esa persona debe ser mas grande de lo normal. Yo (Marsolaire Zurisaday, vivo en un mundo fuera de la malicia y día a día intento mantener mi Inocencia y la integridad física a salvo, por la Intolerancia y las malas cosas de la vida deben ser guardas como el refugió de amor hasta que el cielo vuelva renacer una vez mas.

  • Por favor, tenga cuidado y no use sin son ni ton su vocación mutiladora. Hablando en oro, escribir un artículo de matemática de postgrado es difícil, por la carencia de software en la enciclopedia. Hacemos malabares por redactar y Ud., con la mayor naturalidad los lapida. No leyó referencias, donde estaba el autor y su obra.--Pararin (discusión) 11:29 1 oct 2019 (CDT)
  • Por favor, un artículo mío no funciona con <math> y <math>; por eso le remitiría mi trabajo, elimina <math> y <math> y me lo devuelve, ¿puede enviarlo?--Pararin (discusión) 11:44 2 oct 2019 (CDT)

Como movimientos, en primer lugar consideremos las autosuperposiciones o giros que dejan inmóvil un vértice (por ejemplo <math> A_0</math>). Tales autosuperposiones del tetraedro también superponen el triángulo <math> A_1A_2A_3</math> sobre sí mismo girándolo alrededor de su centro <math> B_0</math> en uno de los ángulos <math> 0, \ 2\pi, \ / 4\pi /3</math>, de esto se deduce que hay exactamente tres autosuperposiciones del tetraedro <math>A_0A_1A_2A_3</math>, que dejan el vértice <math> A_0</math> en su lugar: la autosuperposición idéntica <math> a_0</math>, que deja en su sitio todos los elementos del tetraedro, dos giros <math> a_1 \ y | a_2</math> a1 y alrededor del eje <math>A_0 B_0</math> en <math> 2\pi/3, \ 4\pi /3</math> , respectivamente. Denotemos con <math> x_i</math> cierta autosuperposición del tetraedro que pasa el vértice <math> A_0</math> al vértice <math> A_i</math> siendo <math> (i = 1, \ 2, \ 3) </math>; nuevamente denotemos con <math> x_0</math>x0 la autosuperposición idéntica.

Cualquiera autosuperposición

Se demuestra que toda autosuperposición <math> b</math> de un tetraedro se puede presentar como

<math> b = a_i \cdot x_k</math>

donde <math> i = 0, \ 1, \ 2</math> y <math> k = 0, \ 1, \ 2, \ 3</math> están determinados unívocamente. Lo último nos dice que si <math> b = a_i \cdot x_k</math> , <math> b' = a_i' \cdot x_k'</math> y se produce una de las desigualdades <math> i \ne i', \ k \ne k'</math>, entonces necesariamente <math> b \ne b'</math>.

Consideremos una autosuperposición b que lleva el vértice <math> A_0</math> a cierto vértice determinado <math> A_k</math> donde k toma los valores 0, 1,2,3. Entonces la autosuperposiión <math> bx_k^{-1}</math> deja el vértice <math> A_0</math> inmóvil y, por consiguiente, cierta<math> a_i</math> es totalmente determinada, de modo que <math> bx_k^{-1} = a_i</math> y <math> b = a_ix_k</math> , donde i con k están unívocamente determinados.

Correspondencia biunívoca con pares

Dado que, recíprocamente, a todo par ( i,k) le corresponde cierta autosuperposición del tetraedro, entonces se tiene una correspondencia 1-1 entre las autosuperposiciones del tetraedro y todos los pares (i,k)- donde i toma los valores 0,1,2, 3 y k asume los valores 0,1,2 3. De ello se colige que hay, exactamente, 12 autosuperposiciones del tetraedro.

Llamemos para el caso, mediana de cara del tetraedro la recta que pasa por el centro <math> B_i</math> de dicha cara y por el vértice <math> A_i</math> opuesto a ella. Llamemos mediana de arista de un par de aristas mutuamente opuestas del tetraedro a la reCta que pasa por sus puntos medios.

Como permutaciones

A cada mediana le corresponden dos autosuperposiciones no-idénticas del tetraedro. De esta manera en total se hallan ocho giros que expresados en la forma de permutaciones de números: <math> a_1 = \begin{pmatrix}

 0 & 1 & 2 & 3  \\
 0 & 2 & 1 & 3  \\

\end{pmatrix} </math>....<math> a_2 = \begin{pmatrix}

 0 & 1 & 2 & 3  \\
 0 & 3 & 1 & 2  \\

\end{pmatrix} </math>....<math> a_3 = \begin{pmatrix}

 0 & 1 & 2 & 3  \\
 2 & 1 & 3 & 0  \\

\end{pmatrix} </math>....<math> a_4 = \begin{pmatrix}

 0 & 1 & 2 & 3  \\
 3 & 1 & 0 & 2  \\

\end{pmatrix} </math>

<math> a_5 = \begin{pmatrix}

 0 & 1 & 2 & 3  \\
 1 & 3 & 2 & 0  \\

\end{pmatrix} </math>....<math> a_6 = \begin{pmatrix}

 0 & 1 & 2 & 3  \\
 3 & 0 & 2 & 1  \\

\end{pmatrix} </math>....<math> a_7 = \begin{pmatrix}

 0 & 1 & 2 & 3  \\
 1 & 2 & 0 & 3  \\

\end{pmatrix} </math>....<math> a_8 = \begin{pmatrix}

 0 & 1 & 2 & 3  \\
 2 & 0 & 1 & 3  \\

\end{pmatrix} </math>.

Alrededor de cada mediana de arista hay un giro no idéntico en un ángulo de <math> \pi </math> lo cual proorciona tres giros más, que son:

<math> a_9 = \begin{pmatrix}

 0 & 1 & 2 & 3  \\
 1 & 0 & 3 & 2  \\

\end{pmatrix} </math>....<math> a_{10} = \begin{pmatrix}

 0 & 1 & 2 & 3  \\
 2 & 3 & 0 & 1  \\

\end{pmatrix} </math>....<math> a_{11} = \begin{pmatrix}

 0 & 1 & 2 & 3  \\
 3 & 2 & 1 & 0  \\

\end{pmatrix} </math>

Estos once giros junto con la autosuperposición idéntica ( " giro idéntico") <math> a_0 </math> constituyen todas las 12 autosuperposicioes del tetraedro. [1]

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  1. P. S. Alexándrov Introduccición a la teoría de grupos Editorial URSS Moscú (2005)