Ecuación diofántica

Ecuaciones diofánticas 260px Campo al que pertenece Álgebra Principales exponentes Diofanto de Alejandría

Ecuaciones diofánticas. Estas ecuaciones reciben este nombre en honor a Diofanto, matemático que trabajo en Alejandría a mediados del siglo III a.c. Fue uno de los primeros en introducir la notación simbólica en matemáticas y escribió seis libros sobre problemas en las que consideraba la representación de números anterior como suma de cuadrados.

Definición

Se llama ecuación diofántica a cualquier ecuación algebraica, generalmente de varias variables, planteada sobre el conjunto de los números enteros Z o los números naturales N, es decir, se trata de ecuaciones cuyas soluciones son números enteros.

Ejemplo de ecuación diofántica: X + Y = 5

Esta ecuación tiene infinitas soluciones en los números reales. Como regla general, sin embargo, las ecuaciones que aparecen en los problemas tienen restricciones que nos ayudan a limitarnos a un pequeño número de casos e incluso a una única solución.

Por ejemplo, en la ecuación, si restringimos los posibles valores de x e y a los enteros positivos, tenemos 4 soluciones para (x,y): (1,4) (2,3) (3,2) (4,1).

Un problema matemático muy famoso que se resuelve por medio de ecuaciones diofánticas es el del mono y los cocos.

Ecuaciones

Forma ax + by = c

Para que ésta ecuación tenga solución c tiene que ser divisible por el máximo común divisor de a y b. En este caso la ecuación tiene un número finito de soluciones o ninguna.

Resolución: ax = c - by

Dando valores a y, desde y = 0 hasta y = a - 1, encontraremos un único valor que sea múltiplo de a.

Sea b el valor de y que hace c - by múltiplo de a. Entonces conoceremos el valor de x que satisface la ecuación. Sea a ese valor. Para obtener las demás soluciones hacemos x = a - bt e y = b +at y damos a valores a t = 0,1,2... siempre que se pueda hacer la sustracción.

Sea la ecuación 3x + 5y = 52

3x = 52 - 5y.

Para y = 0 queda 3x = 52

Para y = 1 queda 3x = 47

Para y = 2 queda 3x = 42

El único valor de y que hace x entero es y = 2. Entonces b = 2 y a = 14. x = 14 - 5t. Para t = 0, x = 14. Para t = 1, x = 9. Para t = 2, x = 4. y = 2 + 3t. Para t =0, y = 2. Para t = 1, y = 5. Para t = 2, x = 8

Forma ax - by = c

Para que ésta ecuación tenga solución c tiene que ser divisible por el máximo común divisor de a y b.

En este caso la ecuación tiene un número infinito de soluciones.

Resolución: ax = c + by

Dando valores a y, desde y = 0 hasta y = a - 1, encontraremos un único valor que sea múltiplo de a.

Sea b el valor de y que hace c + by múltiplo de a. Entonces conoceremos el valor de x que satisface la ecuación. Sea a ese valor. Para obtener las demás soluciones hacemos x = a + bt e y = b +at y damos a valores a t = 0,1,2... siempre que se pueda hacer la sustracción.

Forma x² - y² = a

Como x² - y² = (x+y).(x-y). La ecuación queda (x-y).(x+y) = a.

Ahora hacemos a = bc.

b y c deben ser ambos pares o ambos impares, pues la suma de dos números y su diferencia son ambas pares o ambas impares. Entonces

x - y = b

x + y = c

Resolviendo el sistema se obtiene:

x = (b - c) / 2

y = (b + c) / 2

Forma x² + y² = z²

Supondremos x, y, z primos entre sí ya que si x, y ,z es solución de la ecuación también lo es a.x, a.y, a.z para cualquier a .De ahí se deduce que encontrada una solución hay infinitas.

Suponemos x impar, lo podemos hacer ya que al ser x, y, z primos entre sí no pueden haber dos pares.

Transformamos la ecuación en z² - y² = x²

Como z² - y² = (z - y)(z + y).

(z - y)(z + y) = x²

El problema se reduce a descomponer x² como producto de dos números primos entre sí. Sean u y v estos números. (z - y)(z + y) = uv obtenemos y = (u² - v²)/2, z = (u² + v²)/2

Son dos soluciones enteras puesto que la suma y la diferencia de dos impares es un número par.

Forma y² = x³ + a

Esta ecuación con a, número natural, se llama ecuación de Louis Mordell.

Asumiendo como a cualquier número natural.

Su representación gráfica es una curva elíptica en el plano Real. Para cada a posee un número finito de soluciones enteras.

Ecuaciones de la forma xⁿ + yⁿ = zⁿ

La ecuación xⁿ + yⁿ = zⁿ no tiene solución para n > 3, siendo n un número entero.

Expresado en palabras significa que un cubo no se puede expresar como suma de dos cubos, y ninguna potencia mayor o igual que tres se puede expresar como suma de otras dos similares.

Este teorema estuvo sin demostrar durante más de trescientos años, aunque Fermat anotó en el margen del libro de Aritmética de la edición de Bachet "Para esto he descubierto una demostración verdaderamente maravillosa, pero el margen de éste libro es demasiado pequeño para contenerla...". Nadie encontró esa demostración y se dudó de su existencia.

El intento por demostrar éste teorema ocasionó una evolución de las matemáticas.

Finalmente en 1993 Andrew Wiles demostró el teorema relacionándolo con las curvas elípticas modulares, en un manuscrito de doscientos folios.

Soluciones

Solución general

Supongamos la ecuación diofántica .Ax + By = C Solo tiene solución si mcd(A,B)=d/C . Para buscar el mcd(d) empleamos el algoritmo de Euclides. Si una ecuación diofántica tiene solución, necesariamente tiene infinitas soluciones y todas son de la forma:

x=x1+λ\B/d

y =y1+λ\A/d

Donde d = mcd(A, B) y x1 e y1 son una solución particular de la ecuación.

Solución particular

Para encontrar una solución particular usamos la identidad de Bézout junto al algoritmo de Euclides. Esto nos da x 1 e y1 . Veamos el ejemplo:

Tenemos la ecuación diofántica 6x + 10y = 104

1. Buscamos el d = mcd(6,10). A través de Euclides encontramos que d =2
2. Como d|C (donde "|" significa "divide a"), es decir, 2|104, Calculamos una solución particular mediante la Identidad de Bézout: x1 = 2 e y1 = -1. La ecuación quedaría así: 6 · 2 + 10 · (-1) = 2.
3. Ahora tenemos una solución para la ecuación 6x + 10y = 2. Con x1 = 2 e y1 = -1. Si multiplicamos cada parte de la ecuación por C/d (104 / 2 = 52), tendremos la solución particular de la ecuación original (6x + 10y = 104). La ecuación quedaría así: 6 · 2 · 52 + 10 · (-1) · 52 = 104
4. Con lo que hemos visto arriba, buscamos la solución general:

Archivo:Ecuaciondesdiofanticas 1.png

Fuentes

• http://www.aulademate.com/blog/ecuaciones-diofanticas
• http://www.mat.upm.es
• http://www2.uca.es/matematicas/Docencia/ESI/1710003/Apuntes/Leccion12.pdf
• http://www.telefonica.net/web2/lasmatematicasdemario/Algebra/Ecuaciones/EcuDio.htm
• http://www.uca.es/matematicas/Docencia/ESI/1710003/Apuntes/Leccion12.pdf
• http://isagoge.atspace.com/documentos /.../ECUACIONES_DIOFANTICAS.pdf
• http://www.aulademate.com/blog/ecuaciones-diofanticas