Conjunto finito

El concepto de conjunto finito está ligado a la necesidad social de contar los elementos de un determinado conjunto. Esta necesidad surge en los albores de la humanidad, posiblemente en el periodo neolítico.

Sea p un número natural , definimos J_p como el conjunto

J_p = {y = n.n.| y ≤ p} = {1,...,p}

Definición

Un conjunto finito es aquel que posee términos, los cuales poseen un rango de inicio y final. Diremos que el conjunto C es finito, si C es el conjunto vacío o si existe un n.n. p y una biyección de de J_p en C. Si C no es finto se dice que es infinito.

Definición alternativa

Diremos que un conjunto C es finito, si y solamente si, resulta que para todo subconjunto D propio de C, los conjuntos D y C no son equipotentes. . En caso contrario el conjunto se llama infinito, como ejemplo el conjunto de Z de todos los enteros es equipotente con su conjunto propio P de todos los números enteros pares, por lo tanto Z es infinito.

Proposiciones

Teorema

Sean n y p dos n.n. si n>p entonces no existe ninguna función inyectiva de J;_n en J_p

Principio de Dirichlet

dados dos conjunto B y C con l y m elementos respectivamente, si l > m entonces no hay ninguna función inyectiva de de B en C. El principio de Dirichlet es llamado también el "principio de las gavetas", para el cual cabe el siguiente enunciado:

Dados l objetos para ser repartidos en m gavetas y si l > n, entonces una de las gavetas deberá alojar no menos de dos elementos.

Proposición 1

Sean B y C dos l y m elementos respectivamente. Si l < m, entonces no hay ninguna función sobreyectiva de B en C.

Proposición 2

Sean B y C dos conjuntos finitos con igual número de elementos. Una función f: B → C es inyectiva si, y solamente si es sobreyectiva

Proposición 3

Todo dominio de integridad es un cuerpo algebraico.

Proposición 4

Sean B y C dos conjuntos con m elementos , entonces el conjunto de todas las biyecciones de B en C tiene m! elementos.

Proposición 5

El conjunto Z de los números enteros no es finito

Fuentes

• Abramo Hefez. Curso de álgebra vol. 1 Imca, Lima - 2001

• Ariel Kleiman y otra: Conjuntos aplicaciones matemáticas a la administración, Editorial Limusa, México D.F. 1986, decimocuarta reimpresión.

Enlaces externos

• https://definicion.de/infinito/
• https://www.definicionabc.com/general/conjunto-finito.php

Véase también

• Función inyectiva
• Función sobreyectiva
• Función biyectiva