Diferencia entre revisiones de «Grupos en la Física»
| Línea 1: | Línea 1: | ||
{{desarrollo}} | {{desarrollo}} | ||
{{Normalizar|motivo=Colocar plantillas}} | {{Normalizar|motivo=Colocar plantillas}} | ||
| − | Los '''grupos | + | |
| + | {{Definición | ||
| + | |nombre= Grupos en la Física | ||
| + | |imagen= | ||
| + | |tamaño= | ||
| + | |concepto= | ||
| + | }} | ||
| + | Los '''grupos en la Físia''', (grupos algebraicos), sobre todo los finitos, tienen presencia importante en la Física. Tanto en aplicaciones como en investigaciones. | ||
La simetría de un sistema físico significa que sus ecuaciones de movimiento permanecen invariable respecto a cierto conjunto de transformaciones. | La simetría de un sistema físico significa que sus ecuaciones de movimiento permanecen invariable respecto a cierto conjunto de transformaciones. | ||
| − | + | Es importante entonces la siguiente propiedad: si una ecuación es invariante respecto a las transformaciones h, k, la misma también será invariante respecto a la transformación ''l''. que es consecuencia de la aplicación sucesiva de h y k. La transformación l se denomina ''producto de las transformaciones h y k'', de tal manera la operación que se acaba de plantear es una operación interna del conjunto de transformaciones de simetría del sistema físico dado. <ref>M.I. Pietrásheñ/ Ie. D, Trífonov ''Teoría de grupos aplicación a la mecánica cuántica URSS Moscú 2000</ref> | |
| + | |||
==Grupo== | ==Grupo== | ||
| − | + | Se nombra ''grupo'' G al conjunto de objetos u operaciones- llamados ''elementos del grupo''- que satisfacen las siguientes condiciones: | |
1.- Para el conjunto G está definida una ''ley de composición interna (multiplicación), es decir una ley que a dos elementos arbitrarios a y b, en un orden prefijado, se les coloca en correspondencia unívoca un cierto elemento c del mismo G, dicho elemento se llama ''producto de los elementos'' a y b; se denota como c= ab ( forma yuxtapuesta de producto) | 1.- Para el conjunto G está definida una ''ley de composición interna (multiplicación), es decir una ley que a dos elementos arbitrarios a y b, en un orden prefijado, se les coloca en correspondencia unívoca un cierto elemento c del mismo G, dicho elemento se llama ''producto de los elementos'' a y b; se denota como c= ab ( forma yuxtapuesta de producto) | ||
| − | 2.- | + | 2.- La operación abstracta y generalizada de esta multiplicación debe verificar la ''propiedad asociativa''; es decir para elementos arbitrario a,b y d de G, debe satisfacerse la igualdad a(bd) = (ab)d. la ley de composición no tien por qué cumplir la conmutatividad; en general bd ≠ db. Los grupos en que doselementos arbitrarios conmuten se llaman ''grupos abelianos'' |
3.- Entre los elementos de G existe un elemento e, tal que para cualquier elemento de a de G, se tiene ae= ea= a. El elemento e se nombra ''elemento unidad'' del grupo. | 3.- Entre los elementos de G existe un elemento e, tal que para cualquier elemento de a de G, se tiene ae= ea= a. El elemento e se nombra ''elemento unidad'' del grupo. | ||
| − | 4.- | + | 4.- Para todo elemento a de G, existe un elemento h en G, tal que ah = e. Este elemento se llama ''elemento inverso'' de a y se denota a<sub>-1</sub>. Se demuestra que un único elemento unidad, y que para cada elemento de G, existe un único elemento inverso. <ref>Pietráshen y otro. Op. cit.</ref> |
| − | + | ||
==Grupos usados en física== | ==Grupos usados en física== | ||
| − | + | *Grupo de desplazamientos en el espacio tridimensional llamado también grupo de traslaciones. Sus elementos son las transformaciones de traslación del origen de coordenadas en un vector arbitrario '''w''', es decir '''v' = v+w''''. Es evidente que es un grupo continuo. | |
| − | llamado también grupo de traslaciones. Sus elementos son las transformaciones de traslación del origen de coordenadas en un vector arbitrario '''w''', es decir '''v' = v+w''''. Es evidente que es un grupo continuo | ||
| − | |||
| − | |||
| − | + | *Grupo de rotaciones O<sup>+</sup>. Sus elementos son las transformaciones de rotación del espacio tridimensional o las matrices ortogonales correspondientes con determinante igual a 1. Este grupo es continuo o topológico. Si al grupo de rotación se le añade la inversión: x' = -x, y'=-y, z'=-z se obtiene el grupo ortogonal O. | |
| − | O | ||
| − | + | *Los grupos de simetría de las moléculas o grupos puntuales. Sus elementos son ciertas transformaciones ortogonales del espacio tridimensional. Para el caso, el grupo de simetría de una molécula en forma de tetraedro regular (molécula de metano CH4) consta de 24 elementos entre rotaciones y reflexiones que transforman uno en otro los vértices del tetraedro. | |
| − | + | *Grupos de simetría de los cristales | |
| − | + | *Grupos de permutaciones de m objetos | |
| + | |||
| + | *Grupo de Lorentz L<sup>+</sup> | ||
==Referencias== | ==Referencias== | ||
| Línea 37: | Línea 43: | ||
==Fuentes== | ==Fuentes== | ||
Kolokolov y otros: "Problemas resueltos de Métodos Matemáticos en la Física", Editorial URSS Moscú 2002 | Kolokolov y otros: "Problemas resueltos de Métodos Matemáticos en la Física", Editorial URSS Moscú 2002 | ||
| + | |||
[[Categoría:Física]] | [[Categoría:Física]] | ||
[[Categoría:Matemáticas]] | [[Categoría:Matemáticas]] | ||
Revisión del 07:22 6 jun 2022
| ||
Los grupos en la Físia, (grupos algebraicos), sobre todo los finitos, tienen presencia importante en la Física. Tanto en aplicaciones como en investigaciones.
La simetría de un sistema físico significa que sus ecuaciones de movimiento permanecen invariable respecto a cierto conjunto de transformaciones.
Es importante entonces la siguiente propiedad: si una ecuación es invariante respecto a las transformaciones h, k, la misma también será invariante respecto a la transformación l. que es consecuencia de la aplicación sucesiva de h y k. La transformación l se denomina producto de las transformaciones h y k, de tal manera la operación que se acaba de plantear es una operación interna del conjunto de transformaciones de simetría del sistema físico dado. [1]
Grupo
Se nombra grupo G al conjunto de objetos u operaciones- llamados elementos del grupo- que satisfacen las siguientes condiciones:
1.- Para el conjunto G está definida una ley de composición interna (multiplicación), es decir una ley que a dos elementos arbitrarios a y b, en un orden prefijado, se les coloca en correspondencia unívoca un cierto elemento c del mismo G, dicho elemento se llama producto de los elementos a y b; se denota como c= ab ( forma yuxtapuesta de producto)
2.- La operación abstracta y generalizada de esta multiplicación debe verificar la propiedad asociativa; es decir para elementos arbitrario a,b y d de G, debe satisfacerse la igualdad a(bd) = (ab)d. la ley de composición no tien por qué cumplir la conmutatividad; en general bd ≠ db. Los grupos en que doselementos arbitrarios conmuten se llaman grupos abelianos
3.- Entre los elementos de G existe un elemento e, tal que para cualquier elemento de a de G, se tiene ae= ea= a. El elemento e se nombra elemento unidad del grupo.
4.- Para todo elemento a de G, existe un elemento h en G, tal que ah = e. Este elemento se llama elemento inverso de a y se denota a-1. Se demuestra que un único elemento unidad, y que para cada elemento de G, existe un único elemento inverso. [2]
Grupos usados en física
- Grupo de desplazamientos en el espacio tridimensional llamado también grupo de traslaciones. Sus elementos son las transformaciones de traslación del origen de coordenadas en un vector arbitrario w, es decir v' = v+w'. Es evidente que es un grupo continuo.
- Grupo de rotaciones O+. Sus elementos son las transformaciones de rotación del espacio tridimensional o las matrices ortogonales correspondientes con determinante igual a 1. Este grupo es continuo o topológico. Si al grupo de rotación se le añade la inversión: x' = -x, y'=-y, z'=-z se obtiene el grupo ortogonal O.
- Los grupos de simetría de las moléculas o grupos puntuales. Sus elementos son ciertas transformaciones ortogonales del espacio tridimensional. Para el caso, el grupo de simetría de una molécula en forma de tetraedro regular (molécula de metano CH4) consta de 24 elementos entre rotaciones y reflexiones que transforman uno en otro los vértices del tetraedro.
- Grupos de simetría de los cristales
- Grupos de permutaciones de m objetos
- Grupo de Lorentz L+
Referencias
Fuentes
Kolokolov y otros: "Problemas resueltos de Métodos Matemáticos en la Física", Editorial URSS Moscú 2002
