Máximo común divisor

Máximo común divisor Concepto: El mayor de los divisores comunes de varios números

Máximo Común Divisor. Procedimiento matemático utilizado para resolver situaciones como la siguiente:

A un campamento de pioneros van 30 alumnos, de ellos 12 son niñas y 18 son niños, al llegar la noches estos deben acampar en cabañas. ¿De cuántas plazas, como máximo, debe ser cada cabaña para que cada una de ellas esté ocupada solo por chicos o solo por chicas?

Máximo común divisor

Máximo común divisor, de dos o más números naturales, es el mayor de sus divisores comunes.
Ejemplo: el mayor número que es divisor común de 18, 24 y 30 es 6; luego 6 es el máximo común divisor de 18, 24 y 30.
El máximo común divisor de varios números a, b, c, se designa abreviadamente así: m.c.d. (a, b, c). o también M.C.D. (a, b, c)
Para obtener el máximo común divisor de vario números naturales, existen varios métodos:

Métodos para hallar el m.c.d.

1- De acuerdo con la definición
El m.c.d. de varios números puede hallarse, de acuerdo con la definición, determinando todos los divisores, simples y compuestos, de cada uno de ellos y buscando después, entre esos divisores, cuáles son los comunes a todos los números dados. El mayor de esos divisores será el m.c.d.
Ejemplo:
a) Hallar el m.c.d. de 18, 24 y 42
Divisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18
Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Divisores de 42: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42
Los divisores comunes de 18, 24 y 42 son: 1, 2, 3 y 6. El mayor es 6.
Luego el m.c.d. (18, 24, 42) = 6
Este método contribuye a aclarar el concepto de m.c.d., pero no es un método práctico, sumamente laborioso.

2- Por inspección
Se ve sucesivamente si el menor de esos números, o su mitad, o su tercera, o su cuarta, etc. (si las tiene) es divisor de los otros números dados. El primero que lo sea es el m.c.d. de todos ellos.
En cualquier caso en que un número divida a otro, el primero, el divisor, es el m.c.d. de los dos
Ejemplo:
a) Hallar el m.c.d. de 6, 18 y 24
Probamos el menor, 6 y como vemos que los otros dos son divisibles por él, el m.c.d. es 6
b) Hallar el m.c.d. de 10, 15, 45 y 90
El menor es 10, no divide a los otros. Probamos con su mitad, que es 5, y como si los divide, 5 es el m.c.d. de 10, 15, 45 y 90.
c) Hallar el m.c.d. de 6, 8 y 30
El menor es 6, no divide a los otros dos, su mitad es 3, tampoco; su tercera, 2, si los divide: por lo tanto, 2 es el m.c.d. de 6, 8 y 30.
En este método las operaciones son sencillas y se hacen mentalmente por lo que se sugiere cuando se trata de números pequeños.

3- Por descomposición en factores
Se descomponen los números dados en factores primos, se toman los factores comunes a todos ellos con el menor exponente que presenten en sus respectivas descomposiciones. El producto de esos factores será el m.c.d de los números dados.
Este método es el mejor siempre que no haya grandes dificultades para descomponer los números dados en sus factores primos.
Ejemplo:
a) Hallar el m.c.d de 180, 240 y 1400
Descomponemos los números en factores primos

Expresamos los números como productos, si algunos de los factores se repiten lo escribimos como potencia.
        180 = 22 x 32 x 5
        240 = 24 x 3 x 5
        1400 = 23 x 52 x 7
Analizamos cada factor y observamos si están en las tres descomposiciones, de estar lo tomamos con el menor exponente, en este caso el 2 y 5 está en las tres descomposiciones, tomamos el 2 con exponente 2 (22) y el 5 con exponente 1
Luego: m.c.d (180, 240, 1400) = 22 x 5 = 4 x 5 = 20

b) Hallar el m.c.d. de 50, 100 y 483

Prescindiendo del 100 por se múltiplo de 50, resulta:

Como no hay ningún factor común el m.c.d. de 50, 100 y 483 es 1, pues sabemos que el 1 es divisor de todos los números. Esto sucede cuando los números dados son primos entre sí

4- Por divisiones sucesivas. (Hay que distinguir dos casos)

1- Si se trata de dos números: se divide el mayor por el menor, este por el primer resto, éste por el segundo, y así sucesivamente hasta llegar a una división exacta. El último divisor empleado será el m.c.d. de esos números.
Si al dividir el mayor entre el menor la división fuera exacta, el menor sería el m.c.d.
Ejemplo.
Hallar el m.c.d de 344 y 1460
a) Se divide el mayor (1460) entre el menor (344); el resultado es 4 con resto 94 (primer resto)
b) Se divide el menor (344) entre el primer resto (94); el resultado es 3 con resto 62 (segundo resto)
c) Se divide el primer resto (94) entre el segundo resto (62); el resultado es 1 con resto 32 (tercer resto).
d) Se divide el segundo resto (62) entre el tercer resto (32); el resultado es 1 con resto 30 (cuarto resto).
e) Se divide el tercer resto (32) entre el cuarto resto (30); el resultado es 1 con resto 2 (quinto resto) .
f) Se divide el cuarto resto (30) entre el quinto resto (2); el resultado es 15 con resto 0.
g) El último divisor empleado es 2; por tanto el m.c.d. de 344 y 1460 es 2.

Nota. Para ahorrar tiempo y espacio estas divisiones pueden ponerse de la siguiente forma.


2- Si se trata de más de 2 números: se halla entre 2 de ellos el m.c.d.; entre éste y otro de los números se halla el m.c.d.; entre éste y otro de los números se halla el m.c.d.; y así sucesivamente: El último m.c.d. es el m.c.d. de los números dados.
Es conveniente empezar por los 2 menores.
Ejemplo:
1- Hallar el m.c.d. de 300, 810 y 1044
a) Hallamos el m.c.d entre 300 y 810
Archivo:Divis sucesivas 1) .JPG
Por lo tanto el m.c.d. de 300 y 810 es 30

b) Hallar el m.c.d. de 30 y 1044

El m.c.d. (30,1044) = 6
Por lo tanto el m.c.d (300, 810, 1044) = 6

2- Hallar el m.c.d de 60, 250, 325, 500 y 600.
Como el 60 es divisor de 600 se prescinde de 600; como 250 es divisor de 500 se prescinde de éste. Entonces quedan 60, 250 y 325. Empezamos por los 2 menores

El m.c.d. de 250 y 60 es 10
Ahora hallamos el m.c.d. entre 10 y 325.

Archivo:Divs sucesivas 4) .JPG

El m.c.d de 60, 250, 325, 500 y 600 es 5.

Resumen
Debe recordarse que:
1-Si se trata de hallar el m.c.d. de dos números y uno es divisor del otro, el primero, el divisor, es el m.c.d. de los dos números dados.
2- No debe considerarse como primo un número hasta que no se haya hecho la investigación necesaria.
3- No deben suprimirse los ceros en el dividendo y el divisor al usar el método de las divisiones sucesivas.
4- Si no aparece ningún factor común entre los números dados, su m.c.d. es 1

Regla general para hallar el m.c.d. de varios números.
1- Se observa si alguno de los números dados es múltiplo de otro. En este caso se prescinde del múltiplo.
2- Se elige cuál de los métodos se va a emplear de acuerdo con lo siguiente:
• Si los número son pequeños: método de inspección
• Si lo números son grandes, pero descomposición en factores es fácil: método de descomposición en factores
• Si lo números son grandes, pero descomposición en factores es difícil: método de divisiones sucesivas.