Mínimo común múltiplo

Mínimo común múltiplo Concepto: El menor número que los contiene exactamente.

Mínimo Común Múltiplo: Procedimiento matemático que permite resolver problemas prácticos.
Ejemplo: Se ha organizado en el colegio un campeonato de fútbol y otro de voleibol, de manera que se celebra un partido de fútbol cada 3 días y uno de voleibol cada 4 días. Si hoy se ha celebrado un partido de ambos deportes, ¿dentro de cuántos días volverán a coincidir?

Mínimo común múltiplo.

Mínimo común múltiplo, de dos o más números naturales, es el menor número que los contengan un número exacto de veces a todos ellos, exceptuando el cero.
Es el más pequeño de los múltiplos comunes de varios números, exceptuando el cero.
Es el menor múltiplo común distinto de cero.
Ejemplo: El mínimo común múltiplo de 6, 8 y 12 es 24, porque este es el número más pequeño que los contiene exactamente.
El mínimo común múltiplo de varios números a, b, c, se expresa abreviadamente por: m.c.m. (a, b, c).
Para obtener el mínimo común múltiplo de varios números naturales, existen varios métodos:

Métodos para hallar el m.c.m.

1- Por inspección
Se ve sucesivamente si el mayor de esos números, o su duplo, o su triplo, etc., es múltiplo de los otros números dados. El primero que lo sea es el m.c.m. de todos ellos.
Ejemplo:
a) Hallar el m.c.m. de 2, 5 y 10
Probamos el mayor, 10 y como es múltiplo de los otros dos, 10 es el m.c.m de 2, 5 y 10.
b) Hallar el m.c.m . de 12, 15, y 20.
El mayor es 20, no es múltiplo de los otros dos, probamos su duplo, 40, que tampoco lo es, y su triplo, 60, y como éste sí es múltiplo de los otros dos, 60 es el m.c.m de 12, 15 y 20.
c) Hallar el m.c.d. de 5, 8 y 10
Probamos el 10, su duplo, 20, su triplo, 30, su cuádruplo, 40, y como este es el primero que es múltiplo de los otros dos, éste es el m.c.m de los números dados.
En este método las operaciones son sencillas y se hacen mentalmente por lo que se sugiere cuando se trata de números pequeños.
2- Por descomposición en factores
Se descomponen los números dados en factores primos. Para formar el m.c.m. se toman todos los factores distintos, comunes o no, con el mayor exponente que presenten en las descomposiciones de los números dados. El producto de esos factores será el m.c.m de los números dados.
Este método es el mejor siempre que no haya grandes dificultades para descomponer los números dados en sus factores primos.
Ejemplo:
a) Hallar el m.c.d de 180, 240 y 1400
Descomponemos los números en factores primos.

Expresamos los números como productos, si algunos de los factores se repiten lo escribimos como potencia.
     180 = 2² x 3² x 5
     240 = 2⁴ x 3 x 5
     1400 = 2³ x 5² x 7
Tomamos todos los factores distintos que aparecen en las descomposiciones de estos números sean comunes o no. Dichos factores son. 2, 3, 5 y 7. A cada uno le ponemos un exponente igual al mayor que tenga en cualquiera de las descomposiciones de los números dados, en este caso sería 2⁴, 3², 5² y 7
Luego: m.c.m (180, 240, 1400) = 2⁴ x 3² x 5² x 7 = 25 200

Respuesta: El m.c.m. (180, 240, 1400) = 25 200.

b) Hallar el m.c.m. de 442, 884 y 962

Prescindiendo de 442, por ser divisos de 884, resulta

Archivo:Factorización b).JPG
3- Por divisiones sucesivas. (Hay que distinguir dos casos)

Si se trata de dos números: se halla el m.c.d. de los dos, se divide uno de ellos por ese m.c.d. y el cociente se multiplica por el otro. El producto que se obtenga será el m.c.m de los dos números dados.

a) Hallar el m.c.d de 180 y 240
Primero hallamos el m.c.d. de esos 2 números. (Por el método que desees)
Archivo:Divis sucesiva a).JPG

Y ahora hallamos el m.c.m.:

m.c.m. (180, 240) = 180 / 60 x 240 = 720.

b) Hallar el m.c.m. de 180, 240 y 1400

Es conveniente empezar por los dos mayores.

Primero buscamos el m.c.d de 1400 y 240.

Archivo:Divis suceciva b1.JPG

Y ahora hallamos el m.c.m.(1400, 240) = 240 / 40 x 1400 = 6 x 1400 = 8400

Ahora buscamos del mismo modo, el m.c.m de ese m.c.m., 8400 y del otro número dado.
Archivo:Divis sucesiva b2.JPG

Entonces: m.c.m. (8 400, 180) = 180 / 60 x 8 400 = 3 x 8 400 = 25 200.
Resumen:
Debe recordarse que:
1-Si se trata de hallar el m.c.m. de dos números y uno de ellos es múltiplo del otro, el primero, el múltiplo, es el m.c.m. de los dos números dados.
2- No debe considerarse como primo un número hasta que no se haya hecho la investigación necesaria.
3- Al hallar el m.c.m. por el método del m.c.d., éste debe buscarse por divisiones sucesivas.
4- El m.c.m. de varios números primos es igual a su producto.

Regla general para hallar el m.c.m. de varios números.
1- Se observa si alguno de los números dados es múltiplo de otro. En este caso se prescinde del divisor..
2- Se elige cuál de los métodos se va a emplear de acuerdo con lo siguiente:
• Si los número son pequeños: método de inspección
• Si lo números son grandes, pero la descomposición en factores es fácil: método de descomposición en factores
• Si lo números son grandes, pero la descomposición en factores es difícil: método de divisiones sucesivas.

Aplicaciones del m.c.m.

1. Reducir fracciones a común denominador.
Ejemplo: Reducir a común denominador las siguientes fracciones:

Archivo:Fracción ejemplo 1.1.JPG
Factorizamos los denominadores:
12 = 2² x 3
9 = 3²
18 = 2 x 3²
Escogemos los factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor exponente. El m.c.m (12, 9, 18) = 2² • 3² = 4 • 9 = 36. Ya tenemos el nuevo denominador.
Ahora tan solo nos queda calcular tres fracciones equivalentes a las originales pero que tengan por denominador 36. Para ello, dividimos 36 entre 12, 9 y 18 y sabemos por cuánto tenemos que multiplicar los numeradores antiguos para obtener los nuevos: 36: 12 = 3; por lo que multiplicamos 5 x 3 = 15; 36: 9 = 4 y multiplicamos 7 x 4 =28; 36: 18 = 2 y multiplicamos 5 x 2 = 10.
Resumiendo: el denominador común de las tres fracciones es 36 y los nuevos numeradores son 15, 28 y 10, respectivamente. Así que las fracciones anteriores reducidas a común denominador quedarían de esta forma:

Archivo:Fracción ejemplo 1.2.JPG

2. Resolver problemas de la vida práctica.
Ejemplo: Estoy en la playa por la noche y veo dos faros en la costa. Observo que el destello de luz de uno de ellos ocurre cada 8 segundos. En cambio, la luz del otro faro aparece cada 12 segundos. ¿Habrá algún momento en el que pueda ver el destello de ambos faros a la vez? Si es así, ¿cada cuántos segundos coincidirán los dos?
Solución: Buscamos una cantidad de segundos que sea múltiplo de 8 y de 12 y que a la vez sea el más cercano. Es decir, estamos buscando el m.c.m. (8, 12).
Factorizamos 8 y 12:
8 = 2³
12 = 2² x 3
Escogemos los factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor exponente, y calculamos el mínimo común múltiplo.
m.c.m. (8, 12) = 2³ • 3 = 8 • 3 = 24.
Por lo tanto, comprobamos que las luces de los dos faros se verán al mismo tiempo cada 24 segundos.

Fuentes

• Sócrates Rosell Franco. Aritmética. Volumen I. Segunda Edición.
• Microsoft Encarta. Múltiplo de un número. El máximo común divisos de varios números.
• Libro de texto Secundaria Básica. 9no Grado.
• Máximo común divisor y mínimo común múltiplo. 

Ver también

• Divisor de un número.
• Múltiplo de un número
• Máximo Común Divisor.
• Divisibilidad.
• Números primos. Descomposición en factores