Diferencia entre revisiones de «Proyección Axonométrica»
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'''Representación y visibilidad.''' Se acostumbra repasar únicamente la proyección (perspectiva) aunque la proyección horizontal es igualmente indispensable.
 
'''Representación y visibilidad.''' Se acostumbra repasar únicamente la proyección (perspectiva) aunque la proyección horizontal es igualmente indispensable.
  
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== Generalidades==
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==Métodos de construcción en proyección axonométrica==
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Por esto se han estudiado otros métodos de representación, que dan una visión de conjunto de la pieza, muy semejante a la que da de la misma el ojo humano  proyectando el objeto sobre un solo plano, con rayos que parten de un punto. <br>
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*'''Indirecto''': rebatiendo la proyección horizontal del objeto y después fijando los puntos de acuerdo con las alturas respectivas.
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Se pueden dar dos casos distintos, según que el punto desde el que se efectúa la proyección se encuentre '''a distancia finita''' es decir, más o menos próximo. O '''a distancia infinita''' es decir, muy alejado. <br>
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*a) Para determinar la proyección horizontal axonométrica, se determina primero la proyección ortogonal (en el sistema de los ejes XR, YR ).
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En el primer caso (fig. I, 202) todos los rayos que proyectan  el objeto salen divergentes del centro de proyección O;  se forma sobre un plano la proyección del objeto; evidentemente, las dimensiones de de la proyección serán mayores o menores que la del objeto, según que el plano esté colocado más allá del objeto, o bien entre el centro de proyección y el objeto (fig. I, 203). Este método de proyección se llama de '''perspectiva o perspectiva crónica''' y da imágenes semejantes a las que se forman en la retina del ojo del observador; fotografía, por así decirlo, el objeto y es precisamente el método aplicado en la pintura y la fotografía; pero no se aplica nunca en el [[dibujo técnico]], especialmente porque es imposible o por lo menos dificilísimo, deducir de proyecciones de este tipo las verdaderas medidas del objeto. <br>
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*b) Se busca por homologia la proyección horizontal axonométrica, siendo: X Y el eje de homologia; los rayos de homologia perpendiculares al eje de homologia XY; una pareja conjugada: O - OR.
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[[Image: FigI202.jpg|thumb|right|185x141px|<font color=’red’>Proyección central de una figura sobre un plano.</font>]]
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*c) Se determina la proyección axonométrica de acuerdo con las alturas de los puntos. Estas alturas corresponden a la escala del eje Z.
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[[Image: FigI203.jpg|thumb|right|185x141px|<font color=’red’>Proyección central de una figura sobre un plano puede ser de mayores o menores dimensiones que la figura dada.</font>]]
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OM= Altura de la casa.
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El segundo método se denomina genéricamente '''axonometría''', y se deriva del primero cuando el centro de proyección se aleja infinitamente del objeto y del plano de proyección. En este caso, evidentemente, los rayos proyectantes resultan '''paralelos''' (fig. I.204)
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ON= Altura de la cresta.
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[[Image: FigI204.jpg|thumb|right|185x141px|<font color=’red’>Cuando el centro de proyección se aleja infinitamente del objeto y del plano de proyección. Las proyecciones de este tipo constituyen la axonometría.</font>]]
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*'''Directo''': construyendo el objeto de acuerdo con aquellas líneas que son paralelas a los ejes de proyección y de acuerdo con la escala de estos.
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*a) '''Tetraedro''': regular con base horizontal y una arista paralela al eje Y. la altura del tetraedro se determino aparte.
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*b) [[Cubo]] con caras paralelas a los planos de proyección, o sea, aristas paralelas a los ejes.
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*c) Cubo con sección principal paralela al plano de proyección XZ e YZ, o sea, diagonales de una cara son paralelos a los ejes X e Y.
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*d) [[Octaedro]] regular: con diagonales paralelas a los ejes de coordenadas.
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*e) Octaedro regular: con sección principal paralela al plano XZ, o sea, aristas paralelas a los ejes X e Y, y una diagonal paralela al eje Z.
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*'''Proyectivo''': semejante a la proyección oblicua, solo que los ejes se proyectan de otra forma.
  
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==Consideraciones fundamentales sobre la axonometría.==
 
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Observemos lo que ocuerre cuando se efectúa la proyección oblicua de un segmento sobre un plano.<br>
 
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Consideremos dos casos:<br>
 
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1er  caso: '''El segmento es paralelo al plano de proyección''' (fig. I.205). Se ve inmediatamente que, cualquiera que sea la dirección de los rayos proyectantes, el segmento y su proyección tienen la misma longitud. <br>
 
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[[Image: FigI205.jpg|thumb|right|185x141px|<font color=’red’>Cuando el segmento proyectado es paralelo al plano.</font>]]
 
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2do caso: '''El segmento no es paralelo al plano de proyección''' se ve (fig. I.206) que, según sea la posición del segmento con respecto al plano y la dirección de los rayos proyectantes, la proyección tendrá una longitud menor, igual o mayor que la del segmento dado.
 
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[[Image: FigI206.jpg|thumb|right|185x141px|<font color=’red’>Cuando el segmento proyectado no es paralelo al plano.</font>]]
 
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En la fig. I.208 se observa, además, que '''para una dirección dada de los rayos proyectantes, la relación entre la longitud de la proyección y la longitud real del segmento proyectado permanece constante''', cuando los segmentos proyectados forman el mismo ángulo con el plano de proyección, es decir, son paralelos entre sí. Esta relación que, repetimos, es constante para una dirección dada de los rayos proyectantes y del segmento proyectado respecto al plano de proyección, se denomina '''escala de reducción'''. <br>
 
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Expuestas estas consideraciones, indispensables para la compresión de las proyecciones axonométricas, tratemos de representar, p. e., paralelepípedo. Se pueden dar dos casos principales: <br>
 
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a) '''El paralelepípedo tiene una cara paralela al plano de proyección''' (o sea a la hoja del dibujo);  en este caso, teniendo presente cuanto se ha dicho antes (caso 1), se comprende que la cara paralela al plano de proyección da lugar a una proyección igual a la misma cara (o sea rectángulo); las otras aristas, '''paralelas todas ellas entre sí''', darán proyecciones '''que tendrán todas las misma escala de reducción'''. Si el ángulo que forman los rayos proyectantes con el plano de proyección es de 30o, esta reducción es aproximadamente de 0,82; si el ángulo es de 45o, esta reducción es de ½; finalmente, si el ángulo es de 60o, la reducción es aproximadamente de 0,33, por lo que la axonometría del paralelepípedo se presentará en loas tres casos como indica la fig. I.207, 1) 2) 3). <br>
 
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[[Image: FigI207.jpg|thumb|right|185x141px|<font color=’red’>En el caso de dos segmentos paralelos AB y CD.</font>]]
 
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Este tipo de axonometría se le da el nombre de '''perspectiva caballera'''. <br>
 
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[[Image: FigI208.jpg|thumb|right|185x141px|<font color=’red’>Perspectiva caballera.</font>]]
 
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En la fig. I.209 se han representado las perspectivas caballeras de un cilindro, del que se dan las proyecciones ortogonales, según las diferentes inclinaciones antes consideradas para los rayos proyectantes. También en estas proyecciones se acostumbra dibujar punteadas, para mayor claridad, las líneas que resultan invisibles.<br>
 
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[[Image: FigI209.jpg|thumb|right|185x141px|<font color=’red’>Perspectiva caballera de un cilindro.</font>]]
 
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Examinando las fig. I.207 y 209, se ve que '''este tipo de proyección da inmediatamente una idea clara de la forma real del objeto que representa'''. Sin embargo, la primwera de las proyecciones (30o) hace parecer el objeto demasiado alargado; la tercera (60o) lo representa demasiado corto; en conjunto la segunda (45o) es la que mejor agrada a la vista y es la que debe usarse según las últimas normas, de las que se tratará más adelante.<br>
 
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b) '''El paralelepípedo no tiene cara alguna paralela paralela al plano de proyección'''. Para examinar este importante caso, imaginemos que el paralelepípedo sea un cubo y se colocan tres planos  ß,ï, coincidiendo con tres caras de dicho cubo, teniendo un vértice común O; se considera pues, el triedro rectángulo indicado esquemáticamente con x, y, z en la fig. I.210.<br>
 
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[[Image: FigI210.jpg|thumb|right|185x141px|<font color=’red’>Proyección sobre un plano de un cubo.</font>]]
 
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'''El plano de proyección''', colocado en una posición cualquiera, '''corta las tres aristas del triedro en los puntos A, B, C'''; determinando sobre las tres aristas del triedro  los tres segmentos '''OA, OB, OC''' (fig. I.210). <br>
 
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'''Sobre este plano se proyectan, con rayos perpendiculares al mismo, el cubo y cuantos objetos se consideren'''. <br>
 
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==Diferentes axonometrías.==
 
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Se pueden considerar diferentes casos, según que los segmentos OA, OB, OC sean iguales o diferentes, lo cual depende de la inclinación del plano de proyección con respecto al triedro. <br>
 
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'''1. Proyección Isométrica''': Los tres segmentos '''OA, OB, OC''' son iguales entre sí. Las tres aristas del triedroconsiderado, proyectadas sobre el plano, darán, tres semirrectas formando entre sí ángulos de 120o (fig. I.211). Estas tres semirrectas se llaman '''eje de la proyección'''.<br>
 
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[[Image: FigI211.jpg|thumb|right|185x141px|<font color=’red’>Proyección isométrica.</font>]]
 
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El cubo de la proyección indicada en la fig. I.212. Se verifica que todas las aristas sufren idéntica reducción; por lo tanto, en la representación del cubo resultan todas de la misma longitud; pero los ángulos rectos se proyectan en ángulos de  120o  o de 60o, según su posición; de ahí que el objeto, en conjunto, aparece deformado. <br>
 
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Por la propiedad de tener la misma reducción para todos los ejes, esta proyección se denomina  '''isométrica'''. Tiene la ventaja  de su ejecución sencilla, y parece que por lo mismo podrá usarse con frecuencia, pero en cambio su aspecto es poco satisfactorio. No obstante, aun en las más recientes normas de unificación se ha previsto su uso, principalmente por su facilidad de ejecución.<br>
 
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'''2. Proyección bimétrica''': En esta axonometría, las reducciones según dos ejes son iguales; la tercera es diferente; el resultado es una proyección que satisface mejor la vista; su ejecución no es tan fácil como la anterior. <br>
 
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Según sea la orientación del plano del dibujo con respecto al triedro fundamental, resultan, en la proyección de dicho triedro sobre el plano, ángulos diferentes y como consecuencia diferentes coeficientes de reducción. Entre las diferentes combinaciones, se han indicados dos, escogidas entre las más corrientes (Fig. I.213 y 214), los valores de los ángulos redondeados en grados.<br>
 
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[[Image: FigI213.jpg|thumb|right|185x141px|<font color=’red’>Proyección bimétrica.</font>]]
 
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Según las últimas normas, como ya se ha indicado, la combinación que se debe emplear en los dibujos técnicos mecánicos es la primera (fig. I.213). <br>
 
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En las fig. I,215 y 216 se representan las proyecciones de un cubo con 10 cm de lado, en los dos casos considerados.
 
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[[Image: FigI215.jpg|thumb|right|185x141px|<font color=’red’>Proyección bimétrica, en los dos casos considerados.</font>]]
 
  
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== Fuente ==
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==Fuente==
  
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*Dibujo Técnico Mecánico
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[[Category:Matemáticas]] 
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[[Category:Geometría]]
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[[Category: Ayuda]]
 

Revisión del 07:02 23 abr 2011

Dibujo Técnico. Proyección Axonométrica.
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La perspectiva axonométrica Es un sistema de representación gráfica, consistente en representar elementos geométricos o volúmenes en un plano, mediante proyección ortogonal, referida a tres ejes ortogonales, de tal forma que conserven su proporciones en las tres direcciones del espacio: altura, anchura y longitud.

Definición de Proyección axonométrica

La proyección axonométrica es una proyección sobre un plano (Axonométrico) que tiene una posición arbitraria en el espacio. Si los rayos son perpendiculares al plano axonométrico, se trata de una proyección axonométrica ortogonal. Este sistema de proyección es muy similar a la manera de observar los objetos en el espacio, conservándose, sin embargo, todas las propiedades de la proyección cilíndrica (paralelismo, perpendicularidad).

Las proyecciones del plano axonométrico en el plano horizontal XY determina la recta XY cuya proyección es perpendicular al eje Z. en efecto: Ambas rectas (eje Z y XY) son ortogonales, la recta XY esta contenida en el plano axonométrico y la proyección axonométrica es una proyección ortogonal.

Coordenadas y escalas

Se pueden medir las coordenadas de los puntos sobre los ejes, tomando en cuenta la deformación correspondiente de estos. (De allí se deriva el nombre axonométrica que en griego significa medida sobre los ejes).

Cada eje tiene su escala predeterminada de acuerdo con el plano axonométrico y su respectiva dirección de los rayos de proyección. Todas las líneas paralelas al plano axonométrico se conservan en esta proyección en verdadero tamaño. Para determinar las escalas sobre los ejes, rebatimos estos sobre el plano axonométrico donde se deben proyectar en verdadero tamaño. Para definir la proyección axonométrica basta fijar los ángulos bajo los ejes X, Y, Z, cuya suma debe ser 360º y ninguno puede ser 90º. También se puede definir mediante el triangulo axonométrico.

  • Trimetría: los tres ángulos son distintos, las tres escalas son distintas.
  • Bimetría: dos ángulos son iguales y dos escalas también son iguales (la escala distinta esta sobre el eje opuesto al ángulo distinto).
  • Isometría (Monometría): los tres ángulos son iguales a 120º, las tres escalas son también iguales.

Características de la proyección axonométrica

La proyección axonométrica es una proyección cilíndrica, ortogonal donde se conserva: Propiedades:

  • a) El paralelismo y la proporcionalidad, así como los diámetros conjugados de una cónica.
  • b) El plano axonométrico se proyeccta en su verdadero tamaño.
  • c) La recta perpendicular a una recta paralela al plano axonométrico se proyecta bajo un ángulo recto en ella.
  • d) Una esfera se proyecta como una circunferencia.

Uso. La proyección axonométrica se usa ventajosamente para representar esquemas de instalaciones, piezas mecánicas, edificios, etc. Da una ilusión más parecida al objeto que la proyección oblicua ya que se acerca más a la manera de mirar (pero a veces es más laborioso efectuarla.

Representación y visibilidad. Se acostumbra repasar únicamente la proyección (perspectiva) aunque la proyección horizontal es igualmente indispensable.

Métodos de construcción en proyección axonométrica

  • Indirecto: rebatiendo la proyección horizontal del objeto y después fijando los puntos de acuerdo con las alturas respectivas.
  • a) Para determinar la proyección horizontal axonométrica, se determina primero la proyección ortogonal (en el sistema de los ejes XR, YR ).
  • b) Se busca por homologia la proyección horizontal axonométrica, siendo: X Y el eje de homologia; los rayos de homologia perpendiculares al eje de homologia XY; una pareja conjugada: O - OR.
  • c) Se determina la proyección axonométrica de acuerdo con las alturas de los puntos. Estas alturas corresponden a la escala del eje Z.

OM= Altura de la casa. ON= Altura de la cresta.

  • Directo: construyendo el objeto de acuerdo con aquellas líneas que son paralelas a los ejes de proyección y de acuerdo con la escala de estos.
  • a) Tetraedro: regular con base horizontal y una arista paralela al eje Y. la altura del tetraedro se determino aparte.
  • b) Cubo con caras paralelas a los planos de proyección, o sea, aristas paralelas a los ejes.
  • c) Cubo con sección principal paralela al plano de proyección XZ e YZ, o sea, diagonales de una cara son paralelos a los ejes X e Y.
  • d) Octaedro regular: con diagonales paralelas a los ejes de coordenadas.
  • e) Octaedro regular: con sección principal paralela al plano XZ, o sea, aristas paralelas a los ejes X e Y, y una diagonal paralela al eje Z.
  • Proyectivo: semejante a la proyección oblicua, solo que los ejes se proyectan de otra forma.


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