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{{Definición|Nombre=Cuadrado|imagen=Cuadrado.jpg|concepto=Es cuadrilátero regular, es decir, un cuadrilátero con los cuatro lados iguales y los cuatro ángulos iguales.}}'''Triángulo(figura)''': [[Polígono|Polígono]] de tres lados. La suma de los tres [[Ángulos|ángulos]] de un triángulo es 180º. Dos de los ángulos son, necesariamente, agudos. El tercero puede ser también agudo, o bien recto u [[Obtuso]].&lt;br&gt;
 
  
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|concepto=Es un [[cuadrilátero]] regular, es decir, un cuadrilátero con los cuatro lados iguales y los cuatro ángulos iguales.}}
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'''Cuadrado'''. En [[geometría]] euclidiana, un cuadrado es un [[cuadrilátero]] que tiene sus lados opuestos paralelos y, por tanto, es un [[Paralelogramo|paralelogramo]]. Dado que sus cuatro ángulos internos son rectos, es también un caso especial de [[Rectángulo|rectángulo]]. De modo similar, al tener los cuatro lados iguales, es un caso especial de [[Rombo|rombo]]. Cada [[ángulo]] interno de un cuadrado mide 90 grados ó π / 2 [[Radianes|radianes]], y la suma de todos ellos es 360° ó 2π radianes. Cada [[ángulo]] externo del cuadrado mide 270° ó 3π / 2 [[Radianes|radianes]].
  
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== Clasificación&lt;br&gt; ==
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Con otras palabras, es un cuadrilátero regular; posee cuatro lados iguales y cuatro ángulos iguales. Según esta definición un cuadrado es un rectángulo (4 ángulos iguales de 90º) y también un rombo tiene cuatro lados iguales. La razón entre su diagonal y su lado da raíz cuadrada de dos; y esta no es un número racional; hecho que produjo una crisis en la concepción de figuras y de medidas que tenían los antiguos griegos.
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==Definiciones==
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Las siguientes definiciones sobre el cuadrado son equivalentes:
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# Un cuadrado es un cuadrilátero convexo regular.
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# Un cuadrado es un rombo con un ángulo interior  recto-<ref>Michel Helfgott. "Geometría plana". s/f.</ref>
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# Un cuadrado es un rectángulo con dos lados contiguos iguales. <ref>Pequeña variación a la definición de Pogorélov </ref>
  
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Los triángulos se clasifican según la [[Longitud]] de sus lados, o según la amplitud de sus [[Ángulos|ángulos]].  
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Las dos últimas definiciones, desde el punto de vista lógico, son las más pertinentes; se ha usado el criterio definicional de Aristóteles: ''género próximo y diferencia específica''
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Cualquiera de estas definiciones pueden ser usadas; pero en cada cada tendrá que considerarse que se tiene conocimiento antelado sobre los objetos o términos involucrados. <ref>Estrada con Sánchez. "Geometría plana". ISBN 978-959-13-1910-4</ref>
  
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=== Según sus lados&lt;br&gt; ===
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== Área  ==
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El [[área]] de un cuadrado se puede calcular de varias formas:
  
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Según la longitud de sus lados, los triángulos se clasifican en [[Equiláteros|equiláteros]], si sus tres lados son iguales, [[Isósceles|isósceles]], si tienen dos lados iguales, y [[Escalenos|escalenos]], si los tres lados son distintos. &lt;br&gt;
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*Si se conoce la [[longitud]] de sus lados, iguales a ''a'', el [[área]] se calcula como el cuadrado de la [[longitud]] de su lado, o sea: A = a<sup>2</sup>
  
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[[Image:Triángulo lados.jpg|thumb|center|Clasificación según lados]]  
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*Si se conoce el [[área]] de uno de los [[triángulo]]s en que divide la diagonal del cuadrado(Sea A<sub>T</sub> área de uno de los [[triángulo]]s), el área se calcula como A = 2 * A<sub>T</sub>
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* Sea ''d'' la longitud de la diagonal, entonces A <sub>C</sub> = d<sup>2 </sup>
  
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=== Según sus ángulos&lt;br&gt; ===
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== Perímetro  ==
  
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Si los tres ángulos son agudos el triángulo se llama [[Acutángulo|acutángulo]], si tiene un [[Ángulo recto|ángulo recto]], [[Rectángulo|rectángulo]] y [[Obtusángulo|obtusángulo]] si el mayor de sus ángulos es [[Obtuso|obtuso]]. &lt;br&gt;
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El perímetro del cuadrado se calcula como cuatro veces la [[longitud]] del lado del cuadrado, es decir: P = 4 * a (siendo a la [[longitud]] del lado).<br>
  
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[[Image:Triángulo ángulos.jpg|thumb|center|Clasificación según ángulos]]
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== Diagonales  ==
  
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== Triángulos rectángulos ==
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La diagonal '''''e''''' del cuadrado se calcula como '''''a''''' raíz(2), siendo a la [[longitud]] del lado.
  
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Los triángulos rectángulos cumplen una serie de relaciones métricas importantes entre sus lados.&lt;br&gt;Los lados de un triángulo rectángulo que forman el ángulo recto, b y c, se llaman [[Catetos|catetos]] y el tercer lado, a, (opuesto al ángulo recto) es la hipotenusa. [[El teorema de Pitágoras]] relaciona los dos catetos y la hipotenusa: en un triángulo rectángulo, el [[Cuadrado|cuadrado]] de la [[Hipotenusa|hipotenusa]] es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: a&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = b&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; + c&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;br&gt;Otra relación importante que se cumple en un triángulo rectángulo es el '''teorema del cateto''': el cuadrado de cada cateto es igual al producto de la hipotenusa por su proyección sobre ella, es decir, c&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = a • m, b&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = a • n &lt;br&gt;&lt;br&gt;[[Image:Triángulo rectángulo.jpg|thumb|center|Triángulo rectángulo]]&lt;br&gt;
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[[Image:Cuadrado diagonal.jpg|thumb|center|Diagonal de un cuadrado]]
  
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== Alturas de un Triángulo&lt;br&gt; ==
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== Propiedades  ==
  
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Se llama base de un triángulo a cualquiera de sus lados. El [[Segmento]] perpendicular desde un [[Vértice|vértice]] a la base opuesta o a su prolongación se llama altura. Un triángulo tiene, pues, tres [[Bases|bases]] a, b, c, y las tres alturas correspondientes, h&lt;sub&gt;a&lt;/sub&gt;, h&lt;sub&gt;b&lt;/sub&gt; y h&lt;sub&gt;c&lt;/sub&gt;.&lt;br&gt;En un triángulo rectángulo el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de los dos segmentos en que la divide: h&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = m • n&lt;br&gt;Esta relación se conoce como '''teorema de la altura'''.&lt;br&gt;Las tres alturas de un triángulo (o sus prolongaciones) se cortan en un punto llamado [[Ortocentro|ortocentro]]. Si el triángulo es acutángulo, el ortocentro es interior al triángulo.
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*Los cuatro lados son iguales.  
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*Los cuatro ángulos son iguales, e iguales a 90
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*Las dos diagonales son iguales.  
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*Los lados opuestos son paralelos<br>
  
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[[Image:Triángulo alturas.jpg|thumb|center|Alturas del triángulo acutángulo]]En un triángulo rectángulo, cada cateto puede ser considerado como base y como altura. El ortocentro es, por tanto, el vértice del ángulo recto. Si el triángulo es obtusángulo el ortocentro se obtiene, prolongando las alturas, fuera del triángulo. &lt;br&gt;
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== Círculo Inscrito<br>  ==
  
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[[Image:Triángulo alturas acuttángulos.jpg|thumb|center|Alturas del triángulo obtusángulo]]&lt;br&gt;
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Si inscribimos un [[círculo]] en un cuadrado de lado L, el radio será la mitad del lado: r = L/2. Siendo π la constante Pi, ≈ 3, 14, el área de dicho [[círculo]] es: π/4 ≈ 0,785 veces el [[área]] del cuadrado.
  
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== Medianas&lt;br&gt; ==
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== Círculo circunscrito  ==
  
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Se llama mediana de un triángulo a cada uno de los tres [[Segmentos|segmentos]] que unen un vértice con el punto medio del lado opuesto. Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto que se llama [[Baricentros|baricentro]]. &lt;br&gt;[[Image:Triángulo medianas.jpg|thumb|center|Medianas de un triángulo]]El baricentro corta a cada mediana en dos segmentos, uno de ellos la mitad del otro: &lt;br&gt;
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Por otro lado, si consideramos un [[círculo]] circunscrito, el radio será la mitad de la diagonal. Siendo π la constante Pi, ≈ 3, 14, el [[área]] del [[círculo]] será: π/2 ≈ 1,57 veces el [[área]] del cuadrado.
  
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[[Image:Triángulo medianas proporciones.jpg|thumb|center|Proporciones que se cumplen]]&lt;br&gt;
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== Cuadrado algebraico  ==
  
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== Circunferencia inscrita&lt;br&gt; ==
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En [[Álgebra]], el cuadrado de un número n se expresa como n², y equivale a n x n. La operación algebraica de elevar al cuadrado un número n nos proporciona el área de un cuadrado geométrico cuyo lado mide n. Por esta razón, tal operación se conoce como elevar al cuadrado y se representa por n².
  
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Las bisectrices de los tres ángulos de un triángulo se cortan en un punto que se llama incentro porque es el centro de la circunferencia inscrita que es tangente a los tres lados del triángulo. Ésta es la mayor circunferencia contenida en el triángulo. &lt;br&gt;[[Image:Triángulo circunf inscrita.jpg|thumb|center|Circunferencia inscrita]]&lt;br&gt;
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==Referencias y añadidos==
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{{listaref}}
  
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== Circunferencia exinscritas&lt;br&gt; ==
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== Ver también  ==
  
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La [[Bisectriz interior]] de un ángulo se corta con las dos [[Bisectrices|bisectrices exteriores]] de los otros dos ángulos en un punto llamado exincentro, y que es centro de una circunferencia (exinscrita) tangente a un lado y a la prolongación de los otros dos.&lt;br&gt;Un triángulo tiene, pues, tres circunferencias exinscritas. &lt;br&gt;
+
*[http://es.wipipedia.org/wiki/Cuadrado Cuadrado]
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*[http://es.wiktionary.org/wiki/Cuadrado Cuadrado]
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*[http://adserver2.desarrolloweb.com/wiki Cuadrado Figura]
  
−
[[Image:Triángulo circunf exinscritas.jpg|thumb|center|circunferencia exinscrita]]
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== Fuentes  ==
  
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== Circunferencia circunscrita&lt;br&gt; ==
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*[[Encarta|Microsoft ® Encarta]] ® [[2007|2007]]. © [[1993|1993]]--[[2006|2006 ]]Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos.
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*[[Arturo Miyares|Miyares Arturo]] y Jose M Escalona. Geometría, Segundo Curso. Quinta Edición. Editorial Pueblo y Educación. [[La Habana]]. [[Cuba]]. [[1974|1974]].
  
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Las [[Mediatrices]] de los lados de un triángulo se cortan en un punto llamado circuncentro porque es centro de la circunferencia circunscrita que pasa por los tres [[Vértices]] del triángulo. Esta es la menor circunferencia que contiene al triángulo.&lt;br&gt;
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&lt;br&gt;
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[[Category:Geometría_euclídea]]
  
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== Área de un Triángulo&lt;br&gt; ==
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[[Image:Triángulo medianas división.jpg|thumb|center|Áreas de triángulos]]&lt;br&gt;
 
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El [[Área]] de un triángulo de lados a, b, c, y alturas correspondientes h&lt;sub&gt;a&lt;/sub&gt;, h&lt;sub&gt;b&lt;/sub&gt; y h&lt;sub&gt;c&lt;/sub&gt; es: A = (1/2)a • ha = (1/2)b • hb = (1/2)c • hc&lt;br&gt;Si se conocen las longitudes de los tres lados, a, b, c, el área se puede calcular mediante la siguiente fórmula, llamada fórmula de [[Herón|Herón]]:
 
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[[Image:Triángulo área herón.jpg|thumb|center|Fórmula de Herón]]&lt;br&gt;
 
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en donde p = (a + b + c)/2 es el [[Semiperímetro|semiperímetro]] del triángulo.&lt;br&gt;
 
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== Fuentes ==
 
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*[[Encarta|Microsoft ® Encarta]] ® [[2007|2007]]. © [[1993|1993]]--[[2006|2006 ]]Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos. <br>*[[Arturo Miyares|Miyares Arturo]] y [[Jose M Escalona|Escalona Jose M]]. Geometría, Segundo Curso. Quinta Edición. Editorial Pueblo y Educación. La Habana. Cuba. [[1974|1974]].
 
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[[Category:Geometría_euclídea]]<br>
 

última versión al 18:28 18 ago 2019

Cuadrado
Información sobre la plantilla
Cuadrado21.jpg
Concepto:Es un cuadrilátero regular, es decir, un cuadrilátero con los cuatro lados iguales y los cuatro ángulos iguales.

Cuadrado. En geometría euclidiana, un cuadrado es un cuadrilátero que tiene sus lados opuestos paralelos y, por tanto, es un paralelogramo. Dado que sus cuatro ángulos internos son rectos, es también un caso especial de rectángulo. De modo similar, al tener los cuatro lados iguales, es un caso especial de rombo. Cada ángulo interno de un cuadrado mide 90 grados ó π / 2 radianes, y la suma de todos ellos es 360° ó 2π radianes. Cada ángulo externo del cuadrado mide 270° ó 3π / 2 radianes.

Con otras palabras, es un cuadrilátero regular; posee cuatro lados iguales y cuatro ángulos iguales. Según esta definición un cuadrado es un rectángulo (4 ángulos iguales de 90º) y también un rombo tiene cuatro lados iguales. La razón entre su diagonal y su lado da raíz cuadrada de dos; y esta no es un número racional; hecho que produjo una crisis en la concepción de figuras y de medidas que tenían los antiguos griegos.

Definiciones

Las siguientes definiciones sobre el cuadrado son equivalentes:

  1. Un cuadrado es un cuadrilátero convexo regular.
  2. Un cuadrado es un rombo con un ángulo interior recto-[1]
  3. Un cuadrado es un rectángulo con dos lados contiguos iguales. [2]

Las dos últimas definiciones, desde el punto de vista lógico, son las más pertinentes; se ha usado el criterio definicional de Aristóteles: género próximo y diferencia específica Cualquiera de estas definiciones pueden ser usadas; pero en cada cada tendrá que considerarse que se tiene conocimiento antelado sobre los objetos o términos involucrados. [3]

Área

El área de un cuadrado se puede calcular de varias formas:

  • Si se conoce la longitud de sus lados, iguales a a, el área se calcula como el cuadrado de la longitud de su lado, o sea: A = a2
  • Si se conoce el área de uno de los triángulos en que divide la diagonal del cuadrado(Sea AT área de uno de los triángulos), el área se calcula como A = 2 * AT
  • Sea d la longitud de la diagonal, entonces A C = d2

Perímetro

El perímetro del cuadrado se calcula como cuatro veces la longitud del lado del cuadrado, es decir: P = 4 * a (siendo a la longitud del lado).

Diagonales

La diagonal e del cuadrado se calcula como a raíz(2), siendo a la longitud del lado.

Diagonal de un cuadrado

Propiedades

  • Los cuatro lados son iguales.
  • Los cuatro ángulos son iguales, e iguales a 90
  • Las dos diagonales son iguales.
  • Los lados opuestos son paralelos

Círculo Inscrito

Si inscribimos un círculo en un cuadrado de lado L, el radio será la mitad del lado: r = L/2. Siendo π la constante Pi, ≈ 3, 14, el área de dicho círculo es: π/4 ≈ 0,785 veces el área del cuadrado.

Círculo circunscrito

Por otro lado, si consideramos un círculo circunscrito, el radio será la mitad de la diagonal. Siendo π la constante Pi, ≈ 3, 14, el área del círculo será: π/2 ≈ 1,57 veces el área del cuadrado.

Cuadrado algebraico

En Álgebra, el cuadrado de un número n se expresa como n², y equivale a n x n. La operación algebraica de elevar al cuadrado un número n nos proporciona el área de un cuadrado geométrico cuyo lado mide n. Por esta razón, tal operación se conoce como elevar al cuadrado y se representa por n².

Referencias y añadidos

  1. ↑ Michel Helfgott. "Geometría plana". s/f.
  2. ↑ Pequeña variación a la definición de Pogorélov
  3. ↑ Estrada con Sánchez. "Geometría plana". ISBN 978-959-13-1910-4

Ver también

Fuentes



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