Diferencia entre revisiones de «Producto interior (álgebra lineal)»
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| + | |concepto=El producto interior o producto escalar de dos vectores en un espacio vectorial es una forma bilineal, hermítica y definida positiva, por lo que se puede considerar una forma cuadrática definida positiva. | ||
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| + | '''Producto interior (algebra lineal)'''. En matemáticas, el producto interno, también conocido como producto escalar, producto interior o producto punto, es una aplicación cuyo dominio es V 2 y su codominio es K, donde V es un espacio vectorial y K el conjunto de los escalares respectivo. Es una aplicación que a dos elementos de un espacio lineal le hace corresponder un elemento del cuerpo de escalares. | ||
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==Caso real== | ==Caso real== | ||
Sea V un espacio lineal real. Un ''producto interno'' en V es una función que asigna a cada par ordenado de vectores '''u''' y '''v''' en V, un número real que se denota < '''u''', '''v''' > y verifica las siguientes formalidades: | Sea V un espacio lineal real. Un ''producto interno'' en V es una función que asigna a cada par ordenado de vectores '''u''' y '''v''' en V, un número real que se denota < '''u''', '''v''' > y verifica las siguientes formalidades: | ||
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==Caso complejo== | ==Caso complejo== | ||
Sea V un espacio lineal complejo. Un ''producto interno'' en V es una función que asigna a cada par ordenado de vectores '''u'' y '''v''' en V, un número complejo posiblemente que se denota < '''u''', '''v''' > y verifica las siguientes condiciones: | Sea V un espacio lineal complejo. Un ''producto interno'' en V es una función que asigna a cada par ordenado de vectores '''u'' y '''v''' en V, un número complejo posiblemente que se denota < '''u''', '''v''' > y verifica las siguientes condiciones: | ||
| − | *1. < '''u''', '''v''' > = < '''v''' , '''u'''>* para todo '''u'' y '''v''' en V, donde * designa el conjugado del resultado en número complejo. | + | *1. < '''u''', '''v''' > = < '''v''' , '''u'''>* para todo '''u'' y '''v''' en V, donde * designa el conjugado del resultado en número complejo. |
| − | *2. <α '''u'''+β '''v''', '''w''' > = α< '''u''', '''w''' > +β< '''v''', '''w''' >, además < '''w''' , α '''u'''+β '''v''' > =α< '''w''', '''u''' > +β< '''w''', '''v''' > para todos '''u'' , '''v''' y '''w''' en V , α y β números reales. | + | *2. <α '''u''' + β '''v''', '''w''' > = α < '''u''', '''w''' > +β < '''v''', '''w''' >, además < '''w''' , α '''u'''+β '''v''' > = α < '''w''', '''u''' > +β < '''w''', '''v''' > para todos '''u'' , '''v''' y '''w''' en V , α y β números reales. |
| − | *3. < '''u''', '''u''' > positivo si '''v''' ≠ | + | *3. < '''u''', '''u''' > positivo si '''v''' ≠ 0. Además < '''u''', '''u''' > = 0 s,s,s '''u''' = 0. |
==Ejemplos== | ==Ejemplos== | ||
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==Teorema de Schwarz == | ==Teorema de Schwarz == | ||
| + | En matemáticas y más concretamente en cálculo diferencial el teorema de Clairaut, también conocido como teorema de Schwarz o teorema de la igualdad de las derivadas cruzadas es una condición suficiente de la igualdad de las derivadas parciales cruzadas de una función de varias variables. El teorema establece que si las derivadas parciales cruzadas existen y son continuas, entonces son iguales. | ||
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Dado un producto interior en el espacio vectorial real o complejo V, se afirma que | Dado un producto interior en el espacio vectorial real o complejo V, se afirma que | ||
::<uv> ≤ < u,u><sup>1/2</sup> <v,v><sup>1/2</sup> | ::<uv> ≤ < u,u><sup>1/2</sup> <v,v><sup>1/2</sup> | ||
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==Fuentes== | ==Fuentes== | ||
| − | * | + | *Serge Lang: Linear Algebra [https://dibene.files.wordpress.com/2011/02/serge-lang-linear-algebra.pdf]. Consultado: 22 de febrero de 2017 |
| − | * | + | *Algebra lineal [http://mate.dm.uba.ar/~jeronimo/algebra_lineal/AlgebraLineal.pdf]. Consultado: 22 de febrero de 2017 |
| − | * | + | *Lección21:Teorema de Schwartz [http://www.ugr.es/~rpaya/documentos/AnalisisI/2014-15/Schwartz.pdf]. Consultado: 22 de febrero de 2017 |
[[Categoría: Álgebra lineal]] [[Categoría: Matemáticas]] | [[Categoría: Álgebra lineal]] [[Categoría: Matemáticas]] | ||
última versión al 22:05 12 ago 2019
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Producto interior (algebra lineal). En matemáticas, el producto interno, también conocido como producto escalar, producto interior o producto punto, es una aplicación cuyo dominio es V 2 y su codominio es K, donde V es un espacio vectorial y K el conjunto de los escalares respectivo. Es una aplicación que a dos elementos de un espacio lineal le hace corresponder un elemento del cuerpo de escalares.
Caso real
Sea V un espacio lineal real. Un producto interno en V es una función que asigna a cada par ordenado de vectores u y v en V, un número real que se denota < u, v > y verifica las siguientes formalidades:
- 1. < u, v > = < v , u> para todo u y v en V,.
- 2. <α u+β v, w > = α< u, w > +β< v, w >, además < w , α u+ β v > = α < w, u > + β < w, v > para todos u , v y w en V , α y β números reales.
- 3. < u, u > positivo si v ≠ 0. Además < u, u > = 0 s,s,s u = 0.
- El ángulo φ entre dos vectores diferentes de 0, u y v se define por su coseno:
- cosφ = < u, v > / < u, u > 1/2< v, v >1/2
Caso complejo
Sea V un espacio lineal complejo. Un producto interno en V es una función que asigna a cada par ordenado de vectores u y v' en V, un número complejo posiblemente que se denota < u, v > y verifica las siguientes condiciones:
- 1. < u', v > = < v , u>* para todo u y v en V, donde * designa el conjugado del resultado en número complejo.
- 2. <α u' + β v, w > = α < u, w > +β < v, w >, además < w , α u+β v > = α < w, u > +β < w, v > para todos u , v y w en V , α y β números reales.
- 3. < u, u > positivo si v ≠ 0. Además < u, u > = 0 s,s,s u = 0.
Ejemplos
- Se conoce como producto interno típico en Rn al número real definido como < u, v > = u1v1 +...+unvn
- Se considera como producto interior típico en Cn definido como <u, v >= u*1 v1 +...+u*nvn
- <u, v > igual a la integral definida entre 0 y 1 del producto de las funciones u(t) y v(t) en el espacio real de las funciones continuas de dominio [0, 1].
Teorema de Schwarz
En matemáticas y más concretamente en cálculo diferencial el teorema de Clairaut, también conocido como teorema de Schwarz o teorema de la igualdad de las derivadas cruzadas es una condición suficiente de la igualdad de las derivadas parciales cruzadas de una función de varias variables. El teorema establece que si las derivadas parciales cruzadas existen y son continuas, entonces son iguales.
Dado un producto interior en el espacio vectorial real o complejo V, se afirma que
- <uv> ≤ < u,u>1/2 <v,v>1/2
