Diferencia entre revisiones de «Límite de una función»
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== Ejemplo en la convergencia de sucesiones == | == Ejemplo en la convergencia de sucesiones == | ||
Considerando una [[función constante]] definida por f(x)=c y sea x<sub>0</sub> un [[Punto]] arbitrario. Entonces, el límite de f cuando x tiende a x<sub>0</sub> es c. | Considerando una [[función constante]] definida por f(x)=c y sea x<sub>0</sub> un [[Punto]] arbitrario. Entonces, el límite de f cuando x tiende a x<sub>0</sub> es c. | ||
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En efecto, si {x<sub>n</sub>} es una Sucesión que converge hacia x<sub>0</sub>,{f(x<sub>n</sub>)} es la Sucesión de término enésimo f(x<sub>n</sub>)=c, la cual evidentemente converge hacia c, por lo que el límite de f cuando x tiende hacia x<sub>0</sub> es c. | En efecto, si {x<sub>n</sub>} es una Sucesión que converge hacia x<sub>0</sub>,{f(x<sub>n</sub>)} es la Sucesión de término enésimo f(x<sub>n</sub>)=c, la cual evidentemente converge hacia c, por lo que el límite de f cuando x tiende hacia x<sub>0</sub> es c. | ||
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Se puede concluir que para cada £ > 0 se debe encontrar un número ð > 0 de tal forma que para todo x satisfaga<br>0 < | x - x<sub>0</sub> | < ð se tenga | f(x) - L | < £. Si para todo £ > 0 se puede hallar este número ð > 0, se dirá que el límite de la función f cuando x tiende a x<sub>0</sub> es L. | Se puede concluir que para cada £ > 0 se debe encontrar un número ð > 0 de tal forma que para todo x satisfaga<br>0 < | x - x<sub>0</sub> | < ð se tenga | f(x) - L | < £. Si para todo £ > 0 se puede hallar este número ð > 0, se dirá que el límite de la función f cuando x tiende a x<sub>0</sub> es L. | ||
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Revisión del 19:46 25 jun 2013
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Límite de una función en un punto. Dada una Función f definida en una vecindad reducida V del Punto x0, se dice que f tiene límite L, cuando x tiende hacia x0, si cualquiera sea la Sucesión {x0} de puntos de la vecindad V que converja hacia x0, la Sucesión de la Imágenes {f(xn)} converge hacia L.
Sumario
Demostración
Para estudiar el comportamiento de una Función en las cercanías de un Punto dado, considerando una Función f, definida en una vecindad reducida V del punto x0:
Al tomar una Sucesión de puntos de esta vecindad que converja hacia x0. Sea dicha Sucesión:
A cada xn de esta Sucesión está asociada su Imagen f(xn) y así se puden formar la Sucesión de las imágenes:
Por tanto se llega a la conclusión que si para cualquier Sucesión de puntos de la vecindad V, que converja hacia x0, la Sucesión de las imágenes converge hacia un mismo número L, entonces diremos que L es el límite de la función f, cuando x tiende hacia x0.
Ejemplo en la convergencia de sucesiones
Considerando una función constante definida por f(x)=c y sea x0 un Punto arbitrario. Entonces, el límite de f cuando x tiende a x0 es c.
En efecto, si {xn} es una Sucesión que converge hacia x0,{f(xn)} es la Sucesión de término enésimo f(xn)=c, la cual evidentemente converge hacia c, por lo que el límite de f cuando x tiende hacia x0 es c.
Interpretación geométrica
Del análisis de estas funciones puede extraerse la idea intuitiva de que el límite de una Función f, cuando x tiende a x0, es L si puede lograrse que f(x) esté tan próximo a L como se desee, siempre que se tomen valores de x lo suficiente próximos a x0. Esto significa que la distancia entre f(x) y L puede hacerse tan pequeña como se desee y de aquí que para cada número positivo £, por pequeño que este sea, se tenga que: | f(x) - L | < £ "para ciertos valores de x".
Se puede concluir que para cada £ > 0 se debe encontrar un número ð > 0 de tal forma que para todo x satisfaga
0 < | x - x0 | < ð se tenga | f(x) - L | < £. Si para todo £ > 0 se puede hallar este número ð > 0, se dirá que el límite de la función f cuando x tiende a x0 es L.
Definición geométrica
Dada una Función f definida en una vecindad reducida del punto x0, se dice que f tiene límite L, cuando x tiende hacia x0, si para todo número positivo £, existe un número positivo ð, tal que: si 0 < | x - x0 | < ð entonces | f(x) - L | < £
Las dos definiciones anteriores de límite de una Función son equivalentes. En caso de que se satisfaga cualquiera de ellas, diremos que el límite de una Función existe cuando x tiende a x0.
Fuente
- Ministerio de Educación Superior. Departamento de textos y Materiales Didácticos. Análisis Matemático 1. Tomo I.
