Producto interior (álgebra lineal)

Producto interior. También lo nombran producto interno o producto escalar, que es una aplicación que a dos elementos de un espacio lineal le hace corresponder un elemento del cuerpo de escalares.

Caso real

Sea V un espacio lineal real. Un producto interno en V es una función que asigna a cada par ordenado de vectores u y v en V, un número real que se denota < u, v > y verifica las siguientes formalidades:

• 1. < u, v > = < v , u> para todo u y v en V,.
• 2. <α u+β v, w > = α< u, w > +β< v, w >, además < w , α u+ β v > = α < w, u > + β < w, v > para todos u , v y w en V , α y β números reales.
• 3. < u, u > positivo si v ≠ 0. Además < u, u > = 0 s,s,s u = 0.
• El ángulo φ entre dos vectores diferentes de 0, u y v se define por su coseno:

cosφ = < u, v > / < u, u > ^1/2< v, v >^1/2

Caso complejo

Sea V un espacio lineal complejo. Un producto interno en V es una función que asigna a cada par ordenado de vectores u y v' en V, un número complejo posiblemente que se denota < u, v > y verifica las siguientes condiciones:

• 1. < u', v > = < v , u>* para todo u y v en V, donde * designa el conjugado del resultado en número complejo.
• 2. <α u' + β v, w > = α < u, w > +β < v, w >, además < w , α u+β v > = α < w, u > +β < w, v > para todos u , v y w en V , α y β números reales.
• 3. < u, u > positivo si v ≠ 0. Además < u, u > = 0 s,s,s u = 0.

Ejemplos

1. Se conoce como producto interno típico en Rⁿ al número real definido como < u, v > = u₁v₁ +...+u_nv_n
2. Se considera como producto interior típico en Cⁿ definido como <u, v >= u^*₁ v₁ +...+u^*_nv_n
3. <u, v > igual a la integral definida entre 0 y 1 del producto de las funciones u(t) y v(t) en el espacio real de las funciones continuas de dominio [0, 1].

Teorema de Schwarz

Dado un producto interior en el espacio vectorial real o complejo V, se afirma que

<uv> ≤ < u,u>^1/2 <v,v>^1/2

Fuentes

• Álgebra lineal de Maltsev.
• Álgebra lineal de Serge Lange.
• Álgebra Lineal de Barbolla y otros.