Límite de una función

Límite de una función en un punto 260px Concepto: Como halla el límite de una función en un punto.

Límite de una función en un punto. Dada una Función f definida en una vecindad reducida V del Punto(geometría) x₀, se dice que f tiene límite L, cuando x tiende hacia x₀, si cualquiera sea la Sucesión {x₀} de puntos de la vecindad V que converja hacia x₀, la Sucesión de la Imágenes {f(x_n)} converge hacia L.

Demostración

Para estudiar el comportamiento de una Función en las cercanías de un Punto dado, consideremos una Función f, definida en una vecindad reducida V del punto x₀:
Tomemos una Sucesión de puntos de esta vecindad que converja hacia x₀. Sea dicha Sucesión:Sucesión límite1.JPG
A cada x_n de esta Sucesión está asociada su Imagen f(x_n) y así podemos formar la Sucesión de las imágenes:Archivo:Sucesion imágenes límite1.JPG
Por tanto llegamos a la conclusión que si para cualquier Sucesión de puntos de la vecindad V, que converja hacia x₀, la Sucesión de las imágenes converge hacia un mismo número L, entonces diremos que L es el límite de la función f, cuando x tiende hacia x₀.

Ejemplo en la convergencia de sucesiones

Consideremos una Función Constante definida por f(x)=c y sea x₀ un Punto arbitrario. Entonces, el límite de f cuando x tiende a x₀ es c.

Funcion límite1.JPG 

En efecto, si {x_n} es una Sucesión que converge hacia x₀,{f(x_n)} es la Sucesión de término enésimo f(x_n)=c, la cual evidentemente converge hacia c, por lo que el límite de f cuando x tiende hacia x₀ es c.

Interpretación geométrica

Del Análisis de estas funciones puede extraerse la idea intuitiva de que el límite de una Función f, cuando x tiende a x₀, es L si puede lograrse que f(x) esté tan próximo a L como se desee, siempre que se tomen valores de x lo suficiente próximos a x₀. Esto significa que la distancia entre f(x) y L puede hacerse tan pequeña como se desee y de aquí que para cada número positivo £, por pequeño que este sea, se tenga que:     | f(x) - L | < £ "para ciertos valores de x".

Podemos concluir que para cada £ > 0 debemos encontrar un número ð > 0 de tal forma que para todo x satisfaga
0 < | x - x₀ | < ð se tenga | f(x) - L | < £. Si para todo £ > 0 se puede hallar este número ð > 0, diremos que el límite de la función f cuando x tiende a x₀ es L. 

Definicion2 límite1.JPG

Definición Geométrica

Dada una Función f definida en una vecindad reducida del punto x₀, se dice que f tiene límite L, cuando x tiende hacia x₀, si para todo número positivo £, existe un número positivo ð, tal que:                                                               si 0 < | x - x₀ | < ð entonces | f(x) - L | < £
Las dos definiciones anteriores de límite de una Función son equivalentes. En caso de que se satisfaga cualquiera de ellas, diremos que el límite de una Función existe cuando x tiende a x₀.

Fuentes

Ministerio de Educación Superior. Departamento de textos y Materiales Didácticos. Análisis Matemático 1 Tomo I