Diferencia entre revisiones de «Grupo (matemáticas)»
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* '''Todo elemento de''' '''''A''''' '''tiene simétrico''', esto es, para todo elemento ''x'' de ''A'' existe un elemento ''y'' tal que ''x*y = e = y*x''. | * '''Todo elemento de''' '''''A''''' '''tiene simétrico''', esto es, para todo elemento ''x'' de ''A'' existe un elemento ''y'' tal que ''x*y = e = y*x''. | ||
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* El conjunto de los reales tiene estructura de grupo con la suma de reales, ''(R,+)''. El elementro neutro del grupo es 0 y el simétrico de ''x'' es ''-x'' ya que ''x - x = 0'' (notación aditiva). | * El conjunto de los reales tiene estructura de grupo con la suma de reales, ''(R,+)''. El elementro neutro del grupo es 0 y el simétrico de ''x'' es ''-x'' ya que ''x - x = 0'' (notación aditiva). | ||
* El conjunto de los reales tiene estructura de grupo con el producto de reales, ''(R,·)''. El elementro neutro del grupo es 1 y el simétrico de ''x'' es ''1/x'' ya que ''x·(1/x) = 1'' (notación multiplicativa). | * El conjunto de los reales tiene estructura de grupo con el producto de reales, ''(R,·)''. El elementro neutro del grupo es 1 y el simétrico de ''x'' es ''1/x'' ya que ''x·(1/x) = 1'' (notación multiplicativa). | ||
* El conjunto de los complejos tiene estructura de grupo con la suma de los complejos. | * El conjunto de los complejos tiene estructura de grupo con la suma de los complejos. | ||
| − | * El conjunto de las matrices reales y cuadradas de dimensión ''n'' tiene estructura de grupo con la suma de matrices. El elemento neutro es la matriz formada por ceros. | + | * El conjunto de las matrices reales y cuadradas de dimensión ''n'' tiene estructura de grupo con la suma de matrices. El elemento neutro es la matriz formada por ceros. |
== Referencias == | == Referencias == | ||
Revisión del 12:43 30 nov 2016
En matemáticas, un grupo es una estructura algebraica formada por un conjunto A no vacío y una ley de composición interna *. La estructura se denota por (A,*). Para que el par (A,*) sea un grupo debe ser un monoide o semigrupo y, además, para cada elemento de A debe existir un elemento simétrico.
Es decir, (A,*) debe cumplir los siguientes requisitos (los tres primeros son propios de monoide)[1][2]:
- La ley u operación * es interna, esto es, para cada par de elementos x e y de A, la composición x*y debe ser un elemento de A.
- Asociatividad para la ley *, esto es, para cualquier terna x, y y z debe cumplirse que x*(y*z) = (x*y)*z.
- Existe un elemento e de A que es el neutro para *, esto es, para cualquier x de A, se cumple x*e = x y e*x = x.
- Todo elemento de A tiene simétrico, esto es, para todo elemento x de A existe un elemento y tal que x*y = e = y*x.
Ejemplos
- El conjunto de los reales tiene estructura de grupo con la suma de reales, (R,+). El elementro neutro del grupo es 0 y el simétrico de x es -x ya que x - x = 0 (notación aditiva).
- El conjunto de los reales tiene estructura de grupo con el producto de reales, (R,·). El elementro neutro del grupo es 1 y el simétrico de x es 1/x ya que x·(1/x) = 1 (notación multiplicativa).
- El conjunto de los complejos tiene estructura de grupo con la suma de los complejos.
- El conjunto de las matrices reales y cuadradas de dimensión n tiene estructura de grupo con la suma de matrices. El elemento neutro es la matriz formada por ceros.
