Producto interior (álgebra lineal)

Producto interior (álgebra lineal) Concepto: El producto interior o producto escalar de dos vectores en un espacio vectorial es una forma bilineal, hermítica y definida positiva, por lo que se puede considerar una forma cuadrática definida positiva.

Producto interior (algebra lineal). En matemáticas, el producto interno, también conocido como producto escalar, producto interior o producto punto, es una aplicación cuyo dominio es V 2 y su codominio es K, donde V es un espacio vectorial y K el conjunto de los escalares respectivo. Es una aplicación que a dos elementos de un espacio lineal le hace corresponder un elemento del cuerpo de escalares.

Caso real

Sea V un espacio lineal real. Un producto interno en V es una función que asigna a cada par ordenado de vectores u y v en V, un número real que se denota < u, v > y verifica las siguientes formalidades:

• 1. < u, v > = < v , u> para todo u y v en V,.
• 2. <α u+β v, w > = α< u, w > +β< v, w >, además < w , α u+ β v > = α < w, u > + β < w, v > para todos u , v y w en V , α y β números reales.
• 3. < u, u > positivo si v ≠ 0. Además < u, u > = 0 s,s,s u = 0.
• El ángulo φ entre dos vectores diferentes de 0, u y v se define por su coseno:

cosφ = < u, v > / < u, u > ^1/2< v, v >^1/2

Caso complejo

Sea V un espacio lineal complejo. Un producto interno en V es una función que asigna a cada par ordenado de vectores u y v' en V, un número complejo posiblemente que se denota < u, v > y verifica las siguientes condiciones:

• 1. < u', v > = < v , u>* para todo u y v en V, donde * designa el conjugado del resultado en número complejo.
• 2. <α u' + β v, w > = α < u, w > +β < v, w >, además < w , α u+β v > = α < w, u > +β < w, v > para todos u , v y w en V , α y β números reales.
• 3. < u, u > positivo si v ≠ 0. Además < u, u > = 0 s,s,s u = 0.

Ejemplos

1. Se conoce como producto interno típico en Rⁿ al número real definido como < u, v > = u₁v₁ +...+u_nv_n
2. Se considera como producto interior típico en Cⁿ definido como <u, v >= u^*₁ v₁ +...+u^*_nv_n
3. <u, v > igual a la integral definida entre 0 y 1 del producto de las funciones u(t) y v(t) en el espacio real de las funciones continuas de dominio [0, 1].

Teorema de Schwarz

En matemáticas y más concretamente en cálculo diferencial el teorema de Clairaut, también conocido como teorema de Schwarz o teorema de la igualdad de las derivadas cruzadas es una condición suficiente de la igualdad de las derivadas parciales cruzadas de una función de varias variables. El teorema establece que si las derivadas parciales cruzadas existen y son continuas, entonces son iguales.

Dado un producto interior en el espacio vectorial real o complejo V, se afirma que

<uv> ≤ < u,u>^1/2 <v,v>^1/2

Fuentes

• Serge Lang: Linear Algebra [1]. Consultado: 22 de febrero de 2017
• Algebra lineal [2]. Consultado: 22 de febrero de 2017
• Lección21:Teorema de Schwartz [3]. Consultado: 22 de febrero de 2017