Diferencia entre revisiones de «Triángulo»
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| + | Los triángulos rectángulos cumplen una serie de relaciones métricas importantes entre sus lados.<br>Los lados de un triángulo rectángulo que forman el ángulo recto, b y c, se llaman [[Catetos|catetos]] y el tercer lado, a, (opuesto al ángulo recto) es la hipotenusa. El teorema de Pitágoras relaciona los dos catetos y la hipotenusa: en un triángulo rectángulo, el [[Cuadrado|cuadrado]] de la [[Hipotenusa|hipotenusa]] es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: a<sup>2</sup> = b<sup>2</sup> + c<sup>2</sup><br>Otra relación importante que se cumple en un triángulo rectángulo es el '''teorema del cateto''': el cuadrado de cada cateto es igual al producto de la hipotenusa por su proyección sobre ella, es decir, c<sup>2</sup> = a • m, b<sup>2</sup> = a • n <br><br>[[Image:Triángulo rectángulo.jpg|thumb|center|Triángulo rectángulo]]<br> | ||
== Alturas de un Triángulo<br> == | == Alturas de un Triángulo<br> == | ||
| − | Se llama base de un triángulo a cualquiera de sus lados. El segmento perpendicular desde un [[ | + | Se llama base de un triángulo a cualquiera de sus lados. El segmento perpendicular desde un [[Vértice|vértice]] a la base opuesta o a su prolongación se llama altura. Un triángulo tiene, pues, tres [[Bases|bases]] a, b, c, y las tres alturas correspondientes, h<sub>a</sub>, h<sub>b</sub> y h<sub>c</sub>.<br>En un triángulo rectángulo el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de los dos segmentos en que la divide: h<sup>2</sup> = m • n<br>Esta relación se conoce como '''teorema de la altura'''.<br>Las tres alturas de un triángulo (o sus prolongaciones) se cortan en un punto llamado [[Ortocentro|ortocentro]]. Si el triángulo es acutángulo, el ortocentro es interior al triángulo. |
[[Image:Triángulo alturas.jpg|thumb|center|Alturas del triángulo acutángulo]]En un triángulo rectángulo, cada cateto puede ser considerado como base y como altura. El ortocentro es, por tanto, el vértice del ángulo recto. Si el triángulo es obtusángulo el ortocentro se obtiene, prolongando las alturas, fuera del triángulo. <br> | [[Image:Triángulo alturas.jpg|thumb|center|Alturas del triángulo acutángulo]]En un triángulo rectángulo, cada cateto puede ser considerado como base y como altura. El ortocentro es, por tanto, el vértice del ángulo recto. Si el triángulo es obtusángulo el ortocentro se obtiene, prolongando las alturas, fuera del triángulo. <br> | ||
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Las bisectrices de los tres ángulos de un triángulo se cortan en un punto que se llama incentro porque es el centro de la circunferencia inscrita que es tangente a los tres lados del triángulo. Ésta es la mayor circunferencia contenida en el triángulo. <br>[[Image:Triángulo circunf inscrita.jpg|thumb|center|Circunferencia inscrita]]<br> | Las bisectrices de los tres ángulos de un triángulo se cortan en un punto que se llama incentro porque es el centro de la circunferencia inscrita que es tangente a los tres lados del triángulo. Ésta es la mayor circunferencia contenida en el triángulo. <br>[[Image:Triángulo circunf inscrita.jpg|thumb|center|Circunferencia inscrita]]<br> | ||
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[[Image:Triángulo área herón.jpg|thumb|center|Fórmula de Herón]]<br> | [[Image:Triángulo área herón.jpg|thumb|center|Fórmula de Herón]]<br> | ||
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Revisión del 13:18 25 jun 2010
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Triángulo(figura): Polígono de tres lados. La suma de los tres ángulos de un triángulo es 180º. Dos de los ángulos son, necesariamente, agudos. El tercero puede ser también agudo, o bien recto u obtuso.
Sumario
Clasificación
Los triángulos se clasifican según la longitud de sus lados, o según la amplitud de sus ángulos.
Según sus lados
Según la longitud de sus lados, los triángulos se clasifican en equiláteros, si sus tres lados son iguales, isósceles, si tienen dos lados iguales, y escalenos, si los tres lados son distintos.
Según sus ángulos
Si los tres ángulos son agudos el triángulo se llama acutángulo, si tiene un ángulo recto, rectángulo y obtusángulo si el mayor de sus ángulos es obtuso.
Triángulos rectángulos
Los triángulos rectángulos cumplen una serie de relaciones métricas importantes entre sus lados.
Los lados de un triángulo rectángulo que forman el ángulo recto, b y c, se llaman catetos y el tercer lado, a, (opuesto al ángulo recto) es la hipotenusa. El teorema de Pitágoras relaciona los dos catetos y la hipotenusa: en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: a2 = b2 + c2
Otra relación importante que se cumple en un triángulo rectángulo es el teorema del cateto: el cuadrado de cada cateto es igual al producto de la hipotenusa por su proyección sobre ella, es decir, c2 = a • m, b2 = a • n
Alturas de un Triángulo
Se llama base de un triángulo a cualquiera de sus lados. El segmento perpendicular desde un vértice a la base opuesta o a su prolongación se llama altura. Un triángulo tiene, pues, tres bases a, b, c, y las tres alturas correspondientes, ha, hb y hc.
En un triángulo rectángulo el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de los dos segmentos en que la divide: h2 = m • n
Esta relación se conoce como teorema de la altura.
Las tres alturas de un triángulo (o sus prolongaciones) se cortan en un punto llamado ortocentro. Si el triángulo es acutángulo, el ortocentro es interior al triángulo.
En un triángulo rectángulo, cada cateto puede ser considerado como base y como altura. El ortocentro es, por tanto, el vértice del ángulo recto. Si el triángulo es obtusángulo el ortocentro se obtiene, prolongando las alturas, fuera del triángulo.
Medianas
Se llama mediana de un triángulo a cada uno de los tres segmentos que unen un vértice con el punto medio del lado opuesto. Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto que se llama baricentro.
El baricentro corta a cada mediana en dos segmentos, uno de ellos la mitad del otro:
Circunferencia inscrita
Las bisectrices de los tres ángulos de un triángulo se cortan en un punto que se llama incentro porque es el centro de la circunferencia inscrita que es tangente a los tres lados del triángulo. Ésta es la mayor circunferencia contenida en el triángulo.
Circunferencia exinscritas
La bisectriz interior de un ángulo se corta con las dos bisectrices exteriores de los otros dos ángulos en un punto llamado exincentro, y que es centro de una circunferencia (exinscrita) tangente a un lado y a la prolongación de los otros dos.
Un triángulo tiene, pues, tres circunferencias exinscritas.
Circunferencia circunscrita
Las mediatrices de los lados de un triángulo se cortan en un punto llamado circuncentro porque es centro de la circunferencia circunscrita que pasa por los tres vértices del triángulo. Esta es la menor circunferencia que contiene al triángulo.
Área de un Triángulo
El área de un triángulo de lados a, b, c, y alturas correspondientes ha, hb y hc es: A = (1/2)a • ha = (1/2)b • hb = (1/2)c • hc
Si se conocen las longitudes de los tres lados, a, b, c, el área se puede calcular mediante la siguiente fórmula, llamada fórmula de Herón:
en donde p = (a + b + c)/2 es el semiperímetro del triángulo.
Fuentes
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- Miyares Arturo y Escalona Jose M. Geometría, Segundo Curso. Quinta Edición. Editorial Pueblo y Educación. La Habana. Cuba. 1974.
