Función lineal
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Función lineal. La función que a cada x€R le hace corresponder un número real f(x) = mx + n. Donde m y n son números reales dados, se denomina función lineal.
Características generales
Una función lineal según la primera definición dada anteriormente representa una aplicación lineal si y sólo si n = 0. Así, algunos autores llaman función lineal a aquella de la forma
mientras que llaman función afín a la que tiene la forma
, cuando n es distinto de cero. La grafica de la función lineal es una recta.
Los valores de m y n son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la pendiente de la recta, y n es el punto de corte de la recta con el eje y. Cuando cambiamos m modificamos la inclinación de la recta y cuando cambiamos n desplazamos la línea arriba o abajo.
Pendiente
La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas.
Si m < 0, la recta se inclina hacia arriba, la función es creciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo.
Si m > 0, la recta se inclina hacia abajo, la función es decreciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso.
Si m = 0, la recta es paralela al eje x.
Calculo de la pendiente de la recta
La pendiente m de la recta que pasa por los punto P1(x1; y1) y P2(x2; y2) se calcula por la fórmula
Cero de la función
El dominio de la función lineal es el conjunto de los números reales.
El elemento del dominio de la función lineal f(x) = mx + n (m ≠0) cuya imagen es cero, se denomina cero de esta función. Ejercicios:
1-Marque con una “X” lo que consideres correcto: a) Si la relación que se establece entre los elementos de dos conjuntos constituye una correspondencia, entonces: ___ es función. ___ no es función. ___ no se puede decidir. b) Si la relación que se establece entre los elementos de dos conjuntos no constituye una correspondencia, entonces: ___ es función. ___ no es función. ___ no se puede decidir. c) Si en una correspondencia, están asociados todos los elementos del C.LL, con elementos del C.P, entonces: ___ es función. ___ no es función. ___ no se puede decidir. d) Si al menos un elemento del C.LL de una correspondencia, está asociado, entonces: ___ es función. ___ no es función. ___ no se puede decidir. e) Si los elementos asociados del C.LL de una correspondencia, lo hacen cada uno con un único elemento del C.P, entonces: ___ es función. ___ no es función. ___ no se puede decidir. f) Si cada uno de los elementos del C.P de una correspondencia, está asociado con un único elemento del C.LL, entonces: ___ es función. ___ no es función. ___ no se puede decidir. g) Si la relación que se establece entre los elementos de dos conjuntos representa una función, entonces: ___ es una correspondencia ___no es una correspondencia ___no se puede decidir 2- Escribe “V” si es verdadero y “F” si es falso. Justifica en cada caso.
En una función: ___ Todos los elementos del dominio están relacionados con elementos del conjunto imagen. ___ Todos los elementos del conjunto imagen están relacionados con elementos del dominio. ___ Dos elementos del dominio pueden estar relacionados con un mismo elemento del conjunto imagen. ___ Dos elementos del conjunto imagen pueden estar relacionados con un mismo elemento del dominio. 3- Una función numérica viene dada por la correspondencia siguiente: “A cada elemento del dominio se le asigna su duplo”. Complete las siguientes situaciones de manera que obtengas una proposición verdadera: a) La imagen del argumento –2 es ___ b) 2 es la imagen del argumento ___ c) -1 es pre–imagen de ___ d) 0 es imagen de ___ e) La imagen de 2 es ___ f) La imagen de un elemento cualquiera x es ___. g) Marque con una “x” la ecuación que consideres define a la función descrita: ____ y= x + 2 ____ y= -x + 2 ____ y= 2x ____ y= -2x ____ y= x/2. g) Explique a un compañero cómo procedió en el inciso f). 4- ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones definen una función lineal?. Justifique en cada caso:
a) y= x2+2 b) y= 3x–4y c) p= 2m+5 d) y= 9 e) y= 2x+4 5- Clasifique las siguientes proposiciones en verdaderas o falsas. Justifique las falsas a) __ El cero de la función f(x)=4x-8 es x = -2 b) __ La función f(x)=1/2x-5 es monótona creciente c) __ La imagen de la función g(x)= -1/2x es el conjunto de los números reales. d) __ La función h(x)=3x+5 corta el eje de las ¨ y ¨ en el punto (0;-5) e) __ La función p(x)=5 es una recta paralela al eje ¨ y ¨
6- Seleccione la respuesta correcta marcando con una x en la línea dada.
I) La función f(x)=3x+9 es positiva para:
a) __ b) __ c) __ d) __ II) El par ordenado (2 ; -1) pertenece a la función
a) __ b) __ c) __ d) __
III) Si , el conjunto solución de la ecuación es:
a) __ x = 8,5 b) __ x = 0,55 c) __ x = 55 d) __ x = 5,5 7- Dadas: g(x)= x – 1; h(x)= 5x; t(x)= -x – 1; v(x)= 5x - 10. a) Determine en cada caso m y n. b) Halle: g(1); h(0); t(-1); v(-2) c) ¿Cuál es el valor de la imagen en cada uno de los casos del inciso b)?. Nota: Al elemento del dominio cuya imagen es cero, se le llama cero de la función lineal. d) ¿Cuál es el cero de cada una de las funciones g(x), h(x), t(x) y v(x)?. 8- Dada la función f(x)= 2x + 2 I. Determine el valor de x para el cual: a) f(x)= 4 b) f(x)= -8 c) f(x)= 0 II. ¿Cuál es el cero de f(x)?. ¿Por qué?. III. Represente gráficamente estas funciones. 9- Determine los ceros de las siguientes funciones lineales: a) f(x)= x + 2 b) h(x)= 2x + 4 c) y= -3x – 1 d) y= 3 I. Escribe en cada caso el par ordenado correspondiente. II. Represente las funciones gráficamente.
Fuente
- Baño Muñoz Félix. Colectivo de autores. Matemática 8vo grado.Editorial Pueblo y Educación. 1991.
