Teorema de Bolzano

Teorema de Bolzano Concepto: Si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b] y f(a) y f(b) son de distinto signo, existe por lo menos un punto entre a y b para el cual f(c)=0.

El teorema de Bolzano es un teorema sobre funciones continuas definidas sobre un intervalo., el cual plantea que sSi una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b] y f(a) y f(b) son de distinto signo, existe por lo menos un punto entre a y b para el cual f(c)=0 El teorema como tal no especifica el número de puntos, solo afirma que como mínimo existe uno Geométricamente, el teorema establece que si dos puntos (a,f(a)) y (b,f(b)) de la gráfica de una función continua están situados en diferentes lados del eje x, entonces la gráfica intersecta al eje en al menos un punto entre a y b.

Archivo:Teorema Bolzano.JPG

El teorema de Bolzano permite la localización de las raices de una función continua aplicando el método bisección, el cual es un método de búsqueda incremental que divide el intervalo siempre en 2.

Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se evalúa el valor de la función en el punto medio c=(a+b)/2.Si si “c”igual a cero, es la raíz buscada.  En caso contrario, se analiza el signo de  f(c) para ver si es opuesto con f(a) o con f(b) .  Se toma el intervalo  [a, c] ó [c, b]  en  el  que ocurre un cambio de signo. Se repite el proceso  sucesivamente para intervalo cada vez más pequeño, hasta encontrar o aproximarse el valor deseado. 

Fuentes

1. Bronshtein I, Semendiaev K. Manual de Matemática para Ingenieros y Estudiantes. Editorial MIR. Moscú. 1988.
2. Sydsaeter K, Hammond P J. Matemática para el Análisis Económico. Editorial Félix Varela. La Habana. 2005
3. Piskunov, N. Cálculo Diferencial e Integral. Editorial MIR. Moscú. 1980.
4. Ilín V,Pozniak E. Análisis Matemático. En tres tomos. Editorial MIR. Moscú. 1991.