Inecuación Lineal
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Inecuaciones lineales. Son desigualdades en las que interviene una variable, números y uno de los signos de desigualdad, las cuales se tornan verdaderas para determinados valores de la variable.
Sumario
Inecuaciones lineales o inecuaciones de primer grado
Como su nombre lo indica no son ecuaciones, no son igualdades, por ende son desigualdades en las que interviene una variable, números y uno de los signos de desigualdad.
Suponemos que ya conocemos los símbolos “>” (mayor que), “<” (menor que), “≥” (mayor o igual que) y “≤” (menor o igual que) que usamos para relacionar un número con otro. Escribimos, por ejemplo:
4 > (–1) para señalar que 4 es mayor que –1.
También podemos escribir:
–2 < 3 para señalar que (–2) es menor que 3.
Ejemplos como estos se conocen como desigualdades. Una inecuación es el enunciado de una desigualdad que incluye alguna de las siguientes relaciones de orden: “mayor que”(>); “menor que” (<); “mayor o igual que” (≥), y “menor o igual que” (≤)
En la desigualdad aparece al menos una incógnita o valor desconocido y que se cumple para ciertos valores de ella. Si el grado de la inecuación es uno (de primer grado), se dice que la inecuación es lineal. Esto porque al escribir las desigualdades usamos números y por esto mismo es que podemos usar la recta numérica para visualizar o graficar dichas desigualdades.
Gráfico 1.1
Archivo:Gráfico 1.1.JPG
Observa que en la recta de arriba:
4 > (–1), porque 4 está a la derecha de –1 en la recta numérica.
(–2) < 3, porque (–2) está a la izquierda de 3 en la recta numérica.
(–3) < (–1), porque (-3) está a la izquierda de (–1) en la recta numérica
0 > (–4), porque 0 está a la derecha de (–4) en la recta numérica.
Una inecuación lineal, entonces, es una expresión matemática que describe cómo se relacionan entre sí dos expresiones lineales.
Por ejemplo: 3 + 5x ≥ 18; y otro, –2(x + 3) < –9.
Como resolver una inecuación
Resolver una inecuación se deben encontrar los valores de la incógnita para los cuales se cumple la desigualdad. La solución de una inecuación es, por lo general, un intervalo o una unión de intervalos de números reales, por ello es que se puede representar haciendo uso de intervalos en la recta numérica, la cual contiene infinitos números reales.
Las reglas para la resolución de una inecuación son prácticamente las mismas que se emplean para la resolución de ecuaciones, pero deben tenerse presentes las propiedades de las desigualdades. Se puede ilustrar la solución de una inecuación con una gráfica, utilizando la recta numérica y marcando el intervalo entre los números que dan solución a la desigualdad. Si la solución incluye algún extremo definido del intervalo, en la gráfica se representa dicho extremo con un círculo en negrita, en cambio, si la solución no incluye el extremo, lo representamos mediante un círculo en blanco.
Ejemplo: x > 7 (equis es mayor que 7)
gráfico 1.2
Los valores mayores a 7 se representan a la derecha de la recta numérica y no incluyen al 7. En intervalo desde el punto blanco hacia el infinito a la derecha.
Ejemplo: x ≥ 7 (equis es mayor o igual a 7)
Gráfico 1.3
Los valores mayores e iguales a 7 se representan a la derecha de la recta numérica e incluyen al 7. El intervalo desde el punto negro hacia el infinito a la derecha se escribe: Nótese la postura del corchete cuando incluye y cuando no incluye una cifra determinada dentro del intervalo.
Resolución de inecuaciones lineales
De primer grado, con una incógnita. Algunos ejemplos a continuación.
Resolver la inecuación 4x - 3 > 53 (Se lee: cuatro equis menos tres es mayor que 53)
Debemos colocar las letras a un lado y los números al otro lado de la desigualdad (en este caso, mayor que (">"), entonces para llevar el (–3) al otro lado de la desigualdad, le aplicamos el operador inverso (el inverso de (–3) es +3, porque la operación inversa de la resta es la suma).
Tendremos: 4x − 3 + 3 > 53 + 3
4x > 53 +3 4x > 56
Ahora tenemos el número 4 que está multiplicando a la variable o incógnita x, entonces lo pasaremos al otro lado de la desigualdad dividiendo (la operación inversa de la multiplicación es la división). Obteniendo:
x > 56 ÷ 4
x > 14
Entonces el valor de la incógnita o variable "x" serán todos los números mayores que 14, no incluyendo al 14.
Solución gráfica
Gráfico 1.4
Esto significa que en la recta numérica, desde el número 14 (sin incluirlo) hacia la derecha todos los valores (hasta el infinito + ∞) satisfacen la inecuación o desigualdad.
En el siguiente ejemplo:
–11x - 5x +1 < –65x +36
Llevamos los términos semejantes a un lado de la desigualdad y los términos independientes al otro lado de la desigualdad (hemos aplicado operaciones inversas donde era necesario).
–11x –5x +65x < 36 –1
Resolvemos las operaciones indicadas anteriormente
49x < 35
Aplicando operaciones inversas queda
x < 35/49
De donde al simplificar resulta
x < 5/7
Casos especiales
Cuando el coeficiente de la variable es negativo (–), se debe tener en cuenta que al despejar la variable hay que multiplicar o dividir por un número negativo y entonces es evidente que la desigualdad se invierte.
Ejemplo:
2 es menor que 5, ahora multipliquemos ambos miembros de la desigualdad por (-3)
¿Qué obtenemos?
2 < 5
2.(-3)=(-6)
5.(-3)=(-15)
Se inverte el sentido de la desigualdad para que sea cierta, ya que:
(-6)>(-15)
En el siguiente ejemplo:
2x –[x –(x –50)] < x – (800 –3x)
Primero se eliminan los paréntesis
2x –[x –x +50] < x –800 +3x
Reducir términos semejantes.
2x –[50] < 4x –800
Ahora eliminar los corchetes
2x –50 < 4x –800
Transponer los términos, empleando el criterio de operaciones inversas.
2x –4x < –800 +50
Nuevamente reducir términos semejantes
–2x < –750
Dividir por (-2) ambos miembros y por tanto se invierte el sentido de la desigualdad obteniendo
x > 750/2
x > 375
