Teorema de existencia

Torema de existencia. Un teorema de existencia es un teorema que asevera que cada uno, de una extensa gama de problemas, tiene una solución de tipo particular.

• Un caso podría ser de esta manera: ¿cuándo puede hallarse valor para x como función de y una ecuación de la forma f(x) = y? En este caso x puede estar definida por una fórmula tal como x² - log(2x-1), establecida para los números reales x de u algún intervalo, tal como [2, 6 ] e y representa , por ejemplo, 27/4. El problema se plantea de este modo: ¿existe algún valor de x entre 2 y 6 tal que x² - log(2x-1) = 27/4?.

La respuesta a esta pregunta no debe acudir al método de hallar el valor o valores de x en casos particulares. El asunto es encontrar un criterio para determinar si existe o no solución, pero sea utilizable en una extensa clase de problemas.. Ya con el criterio que nos asegure que el problema específico tiene solución, podemos embarcarnos en el esfuerzo de hallarla, pero con la certeza de que nuestra pretensión alcanzará un éxito.

Lo que se exige es que la función sea continua en el intervalo cerrado; tome signos distintos la función en los extremos del intervalo. Si todo ello ocurre es seguro que exista la solución.

Si queremos saber si para una ecuación de segundo grado en una incógnita, con coeficientes racionales, existen raíces reales, bastará probar que el discriminante D= b²-4ac >=0.

¿En qué casos se puede resolver el sistema f(x,y)= m, g(x,y) = n en x, e y en función de a y b? Un ejemplo sencillo es el sistema de ecuaciones lineales

5x + 3y = 9 y x- 3y = 3. Se puede discernir su resolubilidad por el criterio del determinante de los coeficientes de las incógnitas.

Consideremos el siguiente problema de valor inicial, en ecuaciones diferenciales ordinarias:

y' _x = f(x,y), y(x ₀) = y ₀

Este problema tiene salida positiva con el teorema de de existencia de Cauchy. Si f(x,y) es continua en una región, en la vecindad del punto (x₀, y₀) es decir para |x-x₀ |< a y |y-y₀ |< b, entonces existe por lo menos una solución de la ecuación

y'_x = f(x,y)

que está definida y es continua en un intervalo alrededor de x₀ y toma el valor y₀ para x₀.

Fuente

• W. G. Chinn con N.E. Steenrood. Primeros conceptos de topología. Alhambra, S.A, Madrid, 1975.
• Kiseliov, Krasnov y Makarenko. Problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. editorial Mir, Moscú, 1987