Ecuaciones paramétricas

Ecuaciones paramétricas

Ecuaciones paramétricas. En el caso de una función real de una variable real, y =f(x), en algunos casos es preferible, tratándose del par ordenado (x,y) , expresar cada una de las coordenadas como una función; esto es x= g(t) , y = h(t). De tal manera que a t se le denomina parámetro' y al sistema formado por x= g(t) , y = h(t) se denomina ecuaciones paramétricas.de la función. Extendiendo este concepto para el caso de curvas se puede hablar que las ecuaciones x= g(t) , y = h(t) definen una curva recorriendo algún intervalo de números reales.

Ejemplos

• Las ecuaciones paramétricas x = 2t-5, y = 4t - 7, que corresponden a la recta de ecuación y=2x+3.
• Las de la cicloide son x = a(t-sent), y = a( 1-cost); siendo a el radio de la circunferencia rodante sin resbalamiento por una recta horizontal; t el ángulo central de la circunferencia , cuyo uno de los lados pasa por un punto de la cicloide y el otro, por el punto de contacto de la circunferencia con la recta donde rueda.

En el espacio

En el espacio R³ cada punto de una curva se puede definir por un sistema de tres ecuaciones x= x(t), y = y(t), z= z(t).

• Como ejemplo , la hélice circular tiene l estas ecuaciones paramétricas x = a cos t, y = a sen t, z = bt

Para describir una superficie en el espacio R³ se emplean dos parámetros.: s, t. y el correspondiente sistema de tres ecuaciones paramétricas es x = x(s,t), y = y(s,t), z = z(s,t), resolviendo para s y t el sistema formado por las dos primeras ecuaciones y reemplazando en la ecuación z= z(s,t) se puede obtener z= f(x,y) o bien F(x,y,z) = 0

Por ejemplo para la esfera, el sistema de ecuaciones paramétricas es x = a cos s sent, y = asen s sen t , z = a cos t.

Se aplica en el estudio de la curvatura, radio de curvatura de una curva plana, la curvatura y la torsión de una curva en el espacio; plano tangente de una superficie., etc. y da motiva a la llamada derivación de ecuaciones paramétricas con resultados peculiares.

Fuentes

• Manual de matemáticas de Bronshtein y Semendiaaev
• Curso breve de Geometría Analítica de Efímov.
• Calculo Diferencial e Integral de Piskunov, tomo I.