Grupo (matemáticas)
En matemáticas, un grupo es una estructura algebraica formada por un conjunto A no vacío y una ley de composición interna *. La estructura se denota por (A,*). Para que el par (A,*) sea un grupo debe ser un monoide o semigrupo y, además, para cada elemento de A debe existir un elemento simétrico.
Es decir, (A,*) debe cumplir los siguientes requisitos (los tres primeros son propios de monoide)[1][2]:
- La ley u operación * es interna, esto es, para cada par de elementos x e y de A, la composición x*y debe ser un elemento de A.
- Asociatividad para la ley *, esto es, para cualquier terna x, y y z debe cumplirse que x*(y*z) = (x*y)*z.
- Existe un elemento e de A que es el neutro para *, esto es, para cualquier x de A, se cumple x*e = x y e*x = x.
- Todo elemento de A tiene simétrico, esto es, para todo elemento x de A existe un elemento y tal que x*y = e = y*x.
Ejemplos
- El conjunto de los reales tiene estructura de grupo con la suma de reales, (R,+). El elementro neutro del grupo es 0 y el simétrico de x es -x ya que x - x = 0 (notación aditiva).
- El conjunto de los reales tiene estructura de grupo con el producto de reales, (R,·). El elementro neutro del grupo es 1 y el simétrico de x es 1/x ya que x·(1/x) = 1 (notación multiplicativa).
- El conjunto de los complejos tiene estructura de grupo con la suma de los complejos.
- El conjunto de las matrices reales y cuadradas de dimensión n tiene estructura de grupo con la suma de matrices. El elemento neutro es la matriz formada por ceros.
