Funciones continuas
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Funciones continuas . Intuitivamente una función f es continua si su gráfica no tiene interrupciones ni saltos, ni oscilaciones indefinidas, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel.
Sumario
Definición
Función de una variable real: Una función f de ℝ en ℝ es continua en el punto a de ℝ si existe el límite de f(x) cuando x tienda a a y dicho límite coincide con f(a). Si no es así, la función es discontinua en el punto a.
La función anterior es continua en su dominio (ℝ) si es continua en todos los puntos de ℝ.
Ejemplos
- Las funciones polinómicas son continuas en ℝ. Por ejemplo, f(x) = x3 - 2x2 +1.
- Las funciones racionales son continuas en todo ℝ excepto en los puntos para los que se anula el denominador. Por ejemplo, f(x) = 1 / (x -1) es continua en todos los reales excepto en x = 1.
- Las funciones constantes son continuas en todo ℝ. Por ejemplo, f(x) = 3.
- La función definida por partes,
es continua para los puntos x < 2 por ser polinómica y para los puntos x > 2 por ser constante. Además, la función es continua en el punto x = 2, porque los límites laterales de f(x) cuando x tiende a 2 coinciden y son iguales a f(2). Su gráfica es:
Continuidad lateral
- Una función f(x) es continua por la izquierda en el punto x = a si existe el límite de f(x) cuando x tiende a a por la izquierda y es igual a f(a).
- Una función f(x) es continua por la derecha a en el punto x = a si existe el límite de f(x) cuando x tiende a a por la derecha y es igual a f(a).
Si la función f(x) es continua por la derecha y por la izquierda de a, entonces es continua en a.
Función discontinua
Para que una función sea discontinua f(x) sea discontinua en un punto deberá darse una, al menos, de estas condiciones:
Archivo:Continuidad12.jpg
Archivo:Continuidad13.jpg
Archivo:Continuidad14.jpg
Dependiendo de qué condición se verifique, los puntos en los que una función no es continua se clasifican en puntos de discontinuidad evitable y en puntos de discontinuidad no evitable (o inevitable).
Discontinua evitable.
Es evitable si existen f(a) y Archivo:Limite.jpges un número real, pero no coinciden. Se evita la discontinuidad haciendo Archivo:Continuidad.jpg
Ejemplo: La función definida por Archivo:Continuidad15.jpges discontinua en 2, pues dicha función no está definida en el 2.
Archivo:Continuidad16.jpg
Cuando una función f presenta las características anteriores, es decir, no está definida en un número a pero Archivo:Limite.jpgexiste, se dice que f presenta una discontinuidad evitable, porque si f es redefinida en a de manera que Archivo:Continuidad.jpgla nueva función es continua en a.
La discontinuidad de la función Archivo:Continuidad15.jpges evitable, porque si se redefine en 2, se obtiene la siguiente función:
Archivo:Continuidad17.jpgLa función F es continua en todos los puntos
Discontinua no evitable
Se divide en discontinuidad de primera especie, existen los límites laterales en el punto pero no coinciden
- Salto finito, los dos límites laterales son un número real, el salto es la diferencia entre los límites laterales.
- Salto infinito, uno de los límites laterales es infinito.
- Discontinuidad asintótica, si los dos limites laterales de la función en el punto x0 son infinitos:
De segunda especie, si la función no existe en uno de los lados del punto, o no existen alguno, o ambos, de los limites laterales de la función en ese punto, se dice que la función presenta una discontinuidad de segunda especie en ese punto..
Ejemplos:
1. Estudiar la continuidad de la funciónArchivo:Continuidad18.jpg
Rta) f(0) no existe, el valor x=0 no está incluido ni por la izquierda ni por la derecha
Calculamos los límites laterales en x=0
Archivo:Continuidad20.jpg no existe límite
Existe una discontinuidad de salto finito de 6 unidades
2. Estudiar la continuidad de la función
f(x) = Archivo:Continuidad21.jpg
Archivo:Continuidad22.jpg
Rta)
No existe Archivo:Continuidad23.jpgy no existeArchivo:Continuidad24.jpg .
En x=-2 y x=2 la función presenta discontinuidades no evitables de 2 segunda especie.
