Ecuación diferencial ordinaria de primer orden

Ecuación diferencial ordinaria de primer orden Es una ecuación diferencial ordinaria donde intervienen derivadas de primer orden respecto a una variable independiente. Campo al que pertenece Ciencias Puras

Ecuación diferencial ordinaria de primer orden. Se denomina ecuación diferencial ordinaria de primer orden a la que contiene una variable independiente t, una función incógnita y(t) y tambén la primera derivada de la función incógnita y'(t), sucintamente:

G(t,y,y') = 0, (1)

donde G es función dada de tres variables. La función G puede ser representada no para todos los valores de su argumento, por lo que se habla del dominio de representación de la función G como de un conjunto de puntos del espacio de coordenadas de tres variables t, y,y´.

Se llama solución de la ecuación diferencial (1) tal función h(t) de la variable independiente t definida en cierto intervalo abierto I =(a₁; a₂), para cuya sustitución por y en la ecuación (1), la ecuación señalada se convierte en identidad en todo el intervalo (a₁; a₂). Es claro que el reemplazo y = h(t) en la ecuación (1) es realizable sólo cuando la función h(t) en todo el intervalo I es diferenciable. Para que el reemplazo y = h(t) en la ecuación (1) sea realizable es requisito que para un valor arbitrario de la variable t que está en I, el punto de coordenadas (t,; h(t); h'(t)) pertenezca al dominio de definición de la función G.

La ecuación (1) relaciona tres valores variables, t, y , y´. En ciertos casos, cuando dicha ecuación determina la variable y´como función de las variables t, y:

y´= g(t; y), (2)

a tal ecuación se la nombra despejada respecto a la derivada.

Ejemplos

• ty´+y = cost.
• yy´= t-2t³
• y´ln y´/4 = 4t

Forma despejada

• y´= 3y²
• y´= y +e^{t +t2}
• y´= e^t-y

Fuentes

• A.G. Tsipkin. Manual de matemáticas para la enseñanza media. Editorial Mir, Moscú, 1985.
• M. Braun. Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones. Grupo Editorial Iberoamérica. 968-7270-58-6, impreso en México.