Teorema de Borsuk - Ulam

En matemáticas, particularmente en topología algebraica, hay un famoso teorema conjeturado por S. Ulam y probado, en primera ocasión, por Karol Borsuk en 1933, versa sobre puntos antipodales de un espacio topológico y funciones continuas.

Se hace presente que una n-esfera se define como

Sⁿ = {(x¹, x², ..., xⁿ⁺¹)}

Teorema 1.

Sea b: Sⁿ → Sⁿ una aplicación continua que tranforma puntos antipodales en puntos antipodales; esto es, para todo elemento x de Sⁿ, bA(x) = Ab(x). Entonces, el número de Lefschetz es un entero par.

Teorema 2.

Sea b: Sⁿ → Sⁿ ( n > 0)tal que asigna puntos antipodales en puntos antipodales. Entonces tr[b_*, H₀(Sⁿ)] es un número par.

Teorema 3.

No existe ninguna aplicación b: Sⁿ → Sⁿ (n > 0) que transforme puntos antipodales en puntos antipodales.

Teroema 4.

Toda aplicación continua de Sⁿ en Rⁿ asigna un par de puntos antipodales en el mismo punto. Esta última proposición lleva el nombre compuesto de Borsuk- Ulam.

Fuente

• John W. Keesee: Introducción a la topología algebraica, Editorial Alhambra, S. A. Madrid -1971
• https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Borsuk-Ulam

Véase también

• Espacio euclídeo
• n-esfera
• Puntos antipodales