Espacio normado (Análisis funcional)

Espacio normado (Análisis funcional)

Espacio normado (Análisis funcional). En análisis funcional (aun en análisis matemático) un espacio vectorial o espacio lineal se dice que es un espacio normado si en él se ha definido una norma, que no es sino la generalización de longitud. Entre otras razones, las siguientes pretenden justificar su importancia y su utilidad:

• La norma es igual la longitud del vector, en un espacio euclídeo
• Todo espacio vectorial normado es un espacio métrico con la distancia inspirada por la norma.

Definición de norma

Sea V un K-esoacio lineal, una aplicación V×V → R_≥0 se dice que es una norma en V, si se cumple:

1. Anegatividad. Para todo vector su norma ha de ser positiva, y será cero si y sólo si el vecor es cero. |||v|| ≥ 0.

1. Homogeneidad. Para todo vector v y elescalar k la norma de kv es k veces la norma de v. ||kv|| 0 k ||v|1

1. Desigualdad triangular. Para cualesquiera dos vectores v y w la norma de su suma no excede a la suma de las respectivas normas. || v+w|| ≤ ||v||+|1w|

Espacio normado

Un K-espacio lineal V se dice que es normado si en él se puede definir una norma.

Usualmente, se denotará (V,||) el espacio vectorial normado y cuando la norma sea clara simplemente por V.

Diversos casos

De dimensión finita

• El conjunto R de todos los reales con la norma igual al valor absoluto-
• Los espacios euclídeos Rⁿ con la norma inducidad por la raíz cuadrada del producto interior de x por x.
• Las matrices cuadradas de orden n sobre R. O sea M_n

De dimensión infinita

• El espacio de Hilbert de funciones de cuadrado integrable sobre un intervalo L²([a,b]) con la norma dada por el producto escalar

• El espacio de funciones continuas, f: H → R sobre un espacio topológico compacto]] con la norma del supremo.

Distancia en espacio normado

En todo espacio normado se puede definir una distancia, d : V → R, entre los puntos s y t

d(s,t) = ||s-t||

con la cual (V,d) es un espacio métrico.

Espacios normados de dimensión finita

En estos espacios se verifican las siguientes propiedades,las que no ocurren en el caos de los de dimensió infinita.

• Son equivalentes las diversas normas definidas en un espacio lineal.

• El espacio normado es completo], es decir, es un espacio de Banach]. Como consecuencia, todo subespacio de dimensión finita de un espacio vectorial (no necesariamente de dimensión finita) es cerrado.
• Un espacio vectorial normado es de dimensión finita si y sólo si la bola unidad es compacta.
• Todo funcional lineal es continuo. Si el espacio tiene dimensión infinita, existen funcionales lineales no continuos.

Propiedades

Sea C (c) un punto de un espacio normado H y r real positivo, diremos bola abierta de centro C, radio r, al conjunto de todos los puntos de H que cumplen ||x-c|| < r. Si ||x-c|| ≤ r, se dice bola cerrada de centro c y radio r.

• Todo espacio normado es un espacio vectorial topológico.
• la adherencia de una bola abierta en un espacio normado es una bola cerrada
• El interior de una bola cerrada en un espacio normado es bola abierta
• Cualquiera bola abierta en un espacio normado es homeomorfa a todo el espacio.

Fuentes

• Iribarren, Ignacio L.: Topología de espacios métricos (1973) Editorial Limusa Wiley S.A. , primera edición , impreso en México
• Cotlar, Mischa und Cignoli, Roberto: Nociones de espacios normados (1967) Editorial Universitaria de Buenos aires, impreso en La Argentina.
• Boss. Análisis funcional - lecciones de Matemática tomo 5, Editorial URSS, Moscú -2009
• https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial_normado