Derivadas Implícitas
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Derivadas Implícitas.
Sumario
Funciones explícitas
La mayor parte de las funciones están expresadas en forma explícita, como en la ecuación:
dónde la variable y está escrita explícitamente como función de x. Sin embargo, muchas funciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación. La función y = 1/x, viene definida implícitamente por la ecuación: x y = 1.
Para hallar la derivada 
en esta última ecuación, se despeja y, así,
y = 1/ x, la que se puede expresar como y= x -1
obteniendo su derivada fácilmente:
El método sirve siempre y cuando se pueda de despejar y en la ecuación.
El problema es que sino se logra despejar y, es inútil este método.
Por ejemplo, para hallar para la ecuación x2 - 2y3 + 4y = 2, donde resulta muy difícil despejar y como función explícita de x, por lo que se hace necesario utilizar las derivadas de funciones Implícitas.
Funciones implícitas
El método de regla de la cadena para funciones implícitas
Cuando se derivan términos que solo contienen a x, la derivación será la habitual. Sin embargo, cuando se tiene que derivar un término donde aparezca la y, será necesario aplicar la regla de la cadena
Ejemplo 1:
Aquí las variables coinciden: se deriva normalmente.
Ejemplo 2:
Aquí las variables no coinciden: se usa regla de la cadena.
Ejemplo 3:
Hallar de la función implícita siguiente.
Aplicando la notación 
, a cada término y extrayendo las constantes
La regla de la cadena se aplica el término 
, como puede observarse a continuación claramente en el segundo paréntesis,
quitando paréntesis y ordenando los términos
pasando algunos términos al lado derecho,
extrayendo el factor común ,
y finalmente despejando, obtenemos la respuesta requerida
dy/dx con derivadas parciales
El trabajo anterior se puede omitir utilizando la fórmula para determinar laderivada en funciones implícitas.
Ejemplo 4:
Hallar , de la función implícita:
Bibliografía
- Cálculo. Roland Larson y otros.
- Cálculo Diferencial e Integral, Willian Granville y otros
