Descomposición factorial

Descomposición factorial Concepto: Descomponer en factores o factorizar una expresión algebraica, es transformarla en el producto indicado de sus factores.

Descomposición factorial, Cuando a cualquier número podemos expresarlo como producto de potencias de números primos.

Factores

Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica a los que el producto entre sí (de éstos factores) nos da la expresión primitiva. Así, efectuando el producto entre a y a + b, se obtiene:

a y a+b, cuyo producto entre sí dan la expresión a² + ab, estos son los divisores de a² + ab de tal manera que:

(x+3)(X+5) = x² + 8x + 15

donde (x+3)(X+5) son los factores de x² + 8x + 15

Factorización de polinomios

Todo polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los números complejos. Existen métodos de factorización, para algunos casos especiales.

Binomios

• Diferencia de cuadrados
• Suma o diferencia de cubos
• Suma o diferencia de potencias impares iguales

Trinomios

• Trinomio cuadrado perfecto
• Trinomio de la forma x²+bx+c
• Trinomio de la forma ax²+bx+c

Polinomios

• Factor común

Ejemplificación de factorización

Factorizar un monomio

Factorizar un polinomio

No todo polinomio se puede descomponer en un producto indicado de dos o más factores distintos de 1, ya que de la misma forma que en Aritmética, hay números primos que sólo son divisibles por la unidad y por sí mismos, en Algebra, hay expresiones algebraicas que sólo son divisibles por la unidad y por ellas mismas, en consecuencia, no son el producto de otras expresiones algebraicas. Así a + b no puede descomponerse en dos factores distintos de 1 porque sólo es divisible por a + b y por la unidad.

A continuación analizaremos diferentes casos de descomposición factorial.

Caso 1

Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común.

Factor común.

• Descomponer en factores a² + 2a

a² y 2a contienen el factor común a. Se escribe este factor común como coeficiente de un paréntesis, dentro de este paréntesis se escriben los cocientes obtenidos de efectuar el cociente entre a² y a y 2a y a

Obteniendo como resultado: a² + 2a = a(a + 2)

• Factorizar 10b - 40ab²

Los coeficientes numéricos tienen los factores 2,5 y 10. Tomamos el 10 porque siempre se escoge el mayor factor común. De las variables, el único factor común es b ya que se haya en los dos términos del binomio y lo tomampos con su menor exponente. El factor común será 10b

Obteniendo: 10b - 40ab² = 10b(1 - 4ab)

• Descomponer en factores:

10a² - 5a + 15a³ = 5a(2a - 1 + 3a²)

Factor común de un polinomio

• Descomponer en factores: x(a+b)+y(a+b)

Los dos términos de la expresión tienen como factor común (a+b). Se escribe (a+b) como coeficiente de un paréntesis, dentro del paréntesis se escriben los cocientes de dividir x(a+b) entre (a+b) y y(a+b) entre (a+b).

Factorizando se obtiene:

x(a+b)+y(a+b) = (a+b)(x+y)

x(a+b)+y(a+b) = ax+bx+ay+yb y (a+b)(x+y) = ax+ay+bx+by

Por tanto obtenemos:

x(a+b)+y(a+b) = (a+b)(x+y) y ax+bx+ay+yb = ax+ay+bx+by

Caso II

Factor común por agrupación de términos

• Factorizar ax + by +ay + by

Los dos primeros términos tienen el factor común x, y los dos últimos tienen el factor común y, asociando los dos primeros términos en un paréntesis y los dos últimos también en un paréntesis precedido de un signo + ya que el tercer término es positivo se obtiene:

ax+bx+ay+by = (ax+bx)(ay+by)

ax+bx+ay+by = x(a+b) + y(a+b) sacando los factores comunes

ax+bx+ay+by = (a+b)(x+y) factorizando

Nota: La asociación de términos puede hacerse de varios modos y siempre se obtendrá el mismo resultado.

Caso III

Trinomio cuadrado perfecto

Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el producto de dos factores iguales.

Asi, 16a² es cuadrado perfecto de 4a.

En efecto (4a²) = 4a x 4a = 16a², 4a cantidad que multiplicada por si misma da 16a², 4a es la raiz cuadrada de 16a².

Sin embargo (-4a²) = (-4a)((-4a) = 16a², luego (-4a) es también raiz de 16a², por lo que deducimos que la raiz cuadrada de una cantidad positiva tiene los signos (+) y (-).

Raíz cuadrada de un monomio Para extraer la raíz cuadrada de un monomio se saca la raíz cuadrada de su coeficiente numérico y se dividen los exponentes de cada cantidad literal entre 2.

Ejemplo: La raiz cuadrada de 25a²ba⁴ es 5ab²

Un trinomio es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de un binomio, es decir, es el producto de dos binomios iguales.

Así, a² + 2ab + b² es cuadrado perfecto porque es el cuadrado de a + b

Por tanto:

(a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + 2ab + b²

Fuentes

• http://maralboran.org/wikipedia/index.php

• http://usuarios.multimania.es/algetrico/id20.htm

• http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Descomposici%C3%B3n_factorial_de_un_n%C3%BAmero