Descomposición factorial
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Descomposición factorial, Cuando a cualquier número podemos expresarlo como producto de potencias de números primos.
Factores
Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica a los que el producto entre sí (de éstos factores) nos da la expresión primitiva. Así, efectuando el producto entre a y a + b, se obtiene:
a y a+b, cuyo producto entre sí dan la expresión a2 + ab, estos son los divisores de a2 + ab de tal manera que:
(x+3)(X+5) = x2 + 8x + 15
donde (x+3)(X+5) son los factores de x2 + 8x + 15
Factorización de polinomios
Todo polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los números complejos. Existen métodos de factorización, para algunos casos especiales.
Binomios
Trinomios
- Trinomio cuadrado perfecto
- Trinomio de la forma x²+bx+c
- Trinomio de la forma ax²+bx+c
Polinomios
- Factor común
Ejemplificación de factorización
Factorizar un monomio
Factorizar un polinomio
No todo polinomio se puede descomponer en un producto indicado de dos o más factores distintos de 1, ya que de la misma forma que en Aritmética, hay números primos que sólo son divisibles por la unidad y por sí mismos, en Algebra, hay expresiones algebraicas que sólo son divisibles por la unidad y por ellas mismas, en consecuencia, no son el producto de otras expresiones algebraicas. Así a + b no puede descomponerse en dos factores distintos de 1 porque sólo es divisible por a + b y por la unidad.
A continuación analizaremos diferentes casos de descomposición factorial.
Caso 1
Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común.
Factor común.
- Descomponer en factores a2 + 2a
a2 y 2a contienen el factor común a. Se escribe este factor común como coeficiente de un paréntesis, dentro de este paréntesis se escriben los cocientes obtenidos de efectuar el cociente entre a2 y a y 2a y a
Obteniendo como resultado: a2 + 2a = a(a + 2)
- Factorizar 10b - 40ab2
Los coeficientes numéricos tienen los factores 2,5 y 10. Tomamos el 10 porque siempre se escoge el mayor factor común. De las variables, el único factor común es b ya que se haya en los dos términos del binomio y lo tomampos con su menor exponente. El factor común será 10b
Obteniendo: 10b - 40ab2 = 10b(1 - 4ab)
- Descomponer en factores:
10a2 - 5a + 15a3 = 5a(2a - 1 + 3a2)
Factor común de un polinomio
- Descomponer en factores: x(a+b)+y(a+b)
Los dos términos de la expresión tienen como factor común (a+b). Se escribe (a+b) como coeficiente de un paréntesis, dentro del paréntesis se escriben los cocientes de dividir x(a+b) entre (a+b) y y(a+b) entre (a+b).
Factorizando se obtiene:
x(a+b)+y(a+b) = (a+b)(x+y)
x(a+b)+y(a+b) = ax+bx+ay+yb y (a+b)(x+y) = ax+ay+bx+by
Por tanto obtenemos:
x(a+b)+y(a+b) = (a+b)(x+y) y ax+bx+ay+yb = ax+ay+bx+by
Caso II
Factor común por agrupación de términos
- Factorizar ax + by +ay + by
Los dos primeros términos tienen el factor común x, y los dos últimos tienen el factor común y, asociando los dos primeros términos en un paréntesis y los dos últimos también en un paréntesis precedido de un signo + ya que el tercer término es positivo se obtiene:
ax+bx+ay+by = (ax+bx)(ay+by)
ax+bx+ay+by = x(a+b) + y(a+b) sacando los factores comunes
ax+bx+ay+by = (a+b)(x+y) factorizando
Nota: La asociación de términos puede hacerse de varios modos y siempre se obtendrá el mismo resultado.
Caso III
Trinomio cuadrado perfecto
Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el producto de dos factores iguales.
Asi, 16a2 es cuadrado perfecto de 4a.
En efecto (4a2) = 4a x 4a = 16a2, 4a cantidad que multiplicada por si misma da 16a2, 4a es la raiz cuadrada de 16a2.
Sin embargo (-4a2) = (-4a)((-4a) = 16a2, luego (-4a) es también raiz de 16a2, por lo que deducimos que la raiz cuadrada de una cantidad positiva tiene los signos (+) y (-).
Raíz cuadrada de un monomio
Para extraer la raíz cuadrada de un monomio se saca la raíz cuadrada de su coeficiente numérico y se dividen los exponentes de cada cantidad literal entre 2.
Ejemplo: La raiz cuadrada de 25a2b4 es 5ab2
Un trinomio es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de un binomio, es decir, es el producto de dos binomios iguales.
Así, a2 + 2ab + b2 es cuadrado perfecto porque es el cuadrado de a + b
Por tanto:
(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2
Regla para identificar si un trinomio es cuadrado perfecto
Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando el primer y tercer término son cuadrados perfectos (o tienen la raíz cuadrada exacta) y positivos, y el segundo término equivale al doble del producto de éstas raíces cuadradas.
Ejemplo:
a2 - 4ab + 4b2 es cuadrado perfecto porque:
Raíz cuadrada de a2 = a
Raíz cuadrada de 4b2 = 2b
Doble producto de estas raíces 2 x a x 2b = 4ab
